Desigualdad integral y desigualdad de Hölder

Dejar m : S → [ 0 , + ∞ ] ser una medida positiva en S σ -álgebra en X tal que m ( X ) = 1 , y deja ser F , gramo : X → R ser positivo S -funciones medibles tales que:

F ( X ) gramo ( X ) ≥ 1
m -casi en todas partes en X . Pruebalo:
∫ X F d m ⋅ ∫ X gramo d m ≥ 1
Entonces, he probado que ∫ X F ( X ) gramo ( X ) d m ≥ 1 y luego usé la desigualdad de Hölder y obtuve:
( ∫ X F 2 d m ) 1 2 ⋅ ( ∫ X gramo 2 d m ) 1 2 ≥ 1.
¿Cómo sigo adelante desde este punto?

Nota en inglés: "probar", no "probar". Nota de TeX: solo los símbolos destinados a configurarse en una fuente matemática deben configurarse en modo matemático; Por ejemplo, " S σ -álgebra" $S$ $\sigma$-algebra(o, mejor aún, " S a σ -álgebra") en lugar de "‍‍ S   σ − a yo gramo mi b r a " $S\ \sigma-algebra$. He editado en consecuencia.
@LSpice. Escribir "solo los símbolos destinados a configurarse en una fuente matemática deben configurarse en modo matemático" podría malinterpretarse y conducir al otro extremo que a menudo se ve donde solo los símbolos matemáticos están encerrados en $:$\int$ f d$\mu$
@ md2perpe, quise incluir F en tu ejemplo ∫ F d m como un símbolo (¡que resulta ser una letra!) que debe configurarse en modo matemático, y posiblemente incluso el d , como un símbolo que debe configurarse en modo matemático pero (yo, pero no todos creen) usando \mathrm—pero estoy de acuerdo en que podría interpretarse fácilmente de otra manera. Gracias por la aclaración.
@LSpice. Entendí lo que querías decir. Estaba un poco preocupado de que sus palabras fueran mal interpretadas.

Respuestas (1)

Como t ↦ 1 / t es convexo en ( 0 , ∞ ) La desigualdad de Jensen da

1 ∫ X F d m ≤ ∫ X 1 F d m .

De esta desigualdad y gramo ≥ 1 / F ae obtenemos
∫ X F d m ∫ X gramo d m ≥ ∫ X F d m ∫ X 1 F d m ≥ 1

Editar: una forma de usar Cauchy Schwarz en lugar de la desigualdad de Jensen: desde F gramo ≥ 1 ae tenemos

1 = ∫ X 1 d m ≤ ∫ X F gramo d m ≤ ( ∫ X F d m ) 1 / 2 ( ∫ X gramo d m ) 1 / 2 .
Elevar al cuadrado esta desigualdad conduce al resultado deseado.

¿Hay alguna forma de probar esto sin usar la desigualdad de Jensen?
No veo otra forma (lo que no quiere decir que no la haya). Al menos, creo que Cauchy Schwarz no es adecuado para probar esta desigualdad ya que ig ∫ X F d m < ( ∫ X F 2 d m ) 1 / 2 (y lo mismo para gramo ), por lo que no puede ir a la desigualdad que desea desde allí.
Estaba preguntando porque la sugerencia para la solución es usar la desigualdad de Holder, así que traté de usar eso, pero no veo cómo podría ser útil.
Edité la respuesta. De hecho, uno puede usar Cauchy Schwarz.
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