¿Cómo se lee el símbolo summa sin superíndice y el subíndice de los números reales?

puedo leer$\int_\mathbb R f(x)\;dx$como

"La integral sobre R, f de xd x"

Puedo decir "reales" en lugar de R. Puedo omitir "de xd x".

Para una función$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, el símbolo

$$\int_{\mathbb{R}}f(x)\,\mathrm{d}x$$ denota, para ser precisos, denota la integral de Lebesgue de$f$encima$\mathbb{R}$con respecto a la medida Lebesgue. Para precisar esta definición, sería necesario recurrir a la teoría de la medida, que en realidad es fundamental para estudiar la teoría de la probabilidad.

Sin embargo, en prosa inglesa, uno leería esto en voz alta simplemente como la integral de$f$encima$\mathbb{R}$, omitiendo el hecho de que esta es la integral de Lebesgue con respecto a la medida de Lebesgue, ya que esto estaría implícito en el contexto.

Por cierto, si esta denotación le parece extraña, entonces tal vez deberíamos revisar la notación integral más familiar y tratar de encontrarle sentido en ese contexto. En matemáticas más elementales, te encuentras con la integral de Darboux, que se define para funciones$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$en lugar de funciones$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. Denotamos una integral como

$$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$$ como es tradición histórica. Sin embargo, esta no es la única manera de denotar tal integral, y aunque en las matemáticas elementales usamos esta notación, los matemáticos de hoy tienden a preferir la notación $$\int_{[a,b]}f(x)\,\mathrm{d}x$$ por muchas razones. Por ejemplo, cuando se trabaja con funciones$f:U\subset\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$, se puede generalizar la definición de la integral de Darboux a estas funciones de la forma en que la mayoría de los estudiantes de cálculo vectorial están familiarizados. El teorema del "cambio de variables" se establece entonces de la siguiente manera: considere$g:U\subset\mathbb{R}^n\rightarrow{V\subset\mathbb{R}^n}$para$n\in\mathbb{N},n\geq1$siendo una función diferenciable que es inyectiva, y considere$f:g[U]\subset{V}\rightarrow\mathbb{R}$siendo Darboux integrable. Entonces $$\int_Uf[g(\mathbf{x})]|det(Dg)(\mathbf{x})|\,\mathrm{d}\mathbf{x}=\int_{g[U]}f(\mathbf{x})\,\mathrm{d}\mathbf{x}.$$ Este es un teorema muy importante que es casi imposible de expresar de manera concisa y conveniente sin la habilidad de usar este tipo de notación para integrales. Esto revela que, en realidad, la notación con la que está familiarizado es solo una convención alternativa para un caso especial de la notación más general.