¿Cómo encuentro un límite para la siguiente integral compleja?

Tengo la siguiente pregunta.

Necesitamos mostrar que

$$\left|\int_{|z-1|=1} \frac{e^z}{z+1}dz \right|\leq 2\pi e^2$$

Mi idea era la siguiente: parametrizo$|z-1|=1$con$\gamma(t)=1+e^{it}$dónde$t\in [0,2\pi]$. Entonces

$$\left|\int_{|z-1|=1} \frac{e^z}{z+1}dz \right|\leq \int_{|z-1|=1}\frac{|e^z|}{|z+1|}dz\leq \int_{|z-1|=1}|e^z|~dz=\int_0^{2\pi}\left|e^{1+e^{it}}\right|ie^{it}~dt$$ ahora reemplazando$u=e^{it}$me da$du=ie^{it}dt$y por lo tanto la integral anterior es igual a $$\int _1^{e^{2\pi i}}\left|e^{1+u}\right|du=0\leq 2\pi e^2$$

Pero no estoy seguro de si esto funciona, ¿alguien podría ayudarme?