Reemplazar la derivada covariante U(1)U(1)U(1) con la derivada covariante GL(4,R)GL(4,R)GL(4,\mathbb{R})... ¿da gravedad cuántica?

Me doy cuenta de que muchas preguntas sobre la derivación de la gravedad cuántica se han hecho varias veces antes en este foro, pero no se han hecho exactamente como lo estoy haciendo aquí. Me gustaria saber que obtengo especificamente con esta derivacion; gravedad cuántica, mecánica cuántica en el espacio curvo, algo más, ¿nada? Además, si hay problemas con eso, ¿cuáles son exactamente: las transformaciones de GR no renormalizables violan las ecuaciones?

Si defino una acción como

S = ∫ ψ ¯ ( i ℏ C γ m D m − metro C 2 ) ψ − 1 4 m 0 F m v F m v

Entonces, esto es QED.

¿Qué sucede si calculo la función de onda con respecto a una transformación lineal general?

ψ ′ = gramo ψ gramo − 1

Entonces, obtengo el siguiente calibre

D m ψ = ∂ m ψ − [ i q A m , ψ ]

pero, como el calibre es lineal general, el campo es:

R m v = [ D m , D v ]

En consecuencia, si escribo la siguiente acción:

S = ∫ ψ ¯ ( i ℏ C γ m D m − metro C 2 ) ψ − 1 4 R m v R m v

¿Es la gravedad cuántica? ¿Cuáles son los problemas con eso?

¿Por qué sería la gravedad? La GR clásica no es una teoría de Yang-Mills, ¿por qué debería serlo la gravedad cuántica?
@ACuriousMind ¿Qué obtuve entonces... un fermión que evoluciona en un espacio-tiempo curvo... es al menos eso? (¿y realmente correcto al describir eso?)
En comparación con QED, solo cambió el grupo de indicadores y nada más. ¿Por qué esperaría que una elección particular de grupo de indicadores convierta mágicamente una teoría de indicadores relativista especial en una teoría sobre espaciotiempos curvos?
@ACuriousMind El tensor de Riemann está ahí... a menos que sea igual a cero de alguna manera, entonces está haciendo algo. No espero nada... ¡¿PREGUNTO qué hace?!
@ Anon21 la acción de la gravedad es lineal en el tensor de Riemann, la tuya es cuadrática. Su lagrangiano no describe la gravedad, sino cierta teoría de Yang-Mills en el espacio-tiempo plano. Tampoco es cuántico, no tengo idea de por qué concluirías que lo es.
@Prof.Legolasov ¿Cómo puede saber si es cuántico o clásico?
@ Anon21 No veo un solo operador actuando en un espacio de Hilbert, por lo que definitivamente no es cuántico
@Prof.Legolasov ¿Es el QED Lagrangian que escribí sobre cuántico o clásico?
@ Anon21 es un lagrangiano clásico

Respuestas (1)

Solo hay dos pequeños problemas: este enfoque no tiene nada que ver con la gravedad, y no es en absoluto cuántico :)

Primero, tu acción no describe la gravedad; describe la teoría de Yang-Mills con el grupo GRAMO L ( norte ) = tu ( 1 ) × S L ( norte ) . No la gravedad.

Hay una formulación de la gravedad en el lenguaje de la teoría de calibre, pero utiliza una acción diferente:

S [ mi , A ] = ∫ d 4 X | det mi | mi a m a b v F m v a b
con A a S O ( 3 , 1 ) conexión, F su tensor de curvatura, y mi el campo de tétrada que mapea el espacio tangente a un punto en el espacio-tiempo al espacio abstracto R 4 y es invertible por definición.

Puede pasar a variables ordinarias por

gramo m v ( X ) = η a b mi m a ( X ) mi v b ( X ) .

Para acoplar a fermiones, reemplace ∂ m por la derivada covariante que actúa sobre los objetos en la representación spinor de S O ( 3 , 1 ) .

El segundo problema es que nada de esto es cuántico. Esta es una teoría completamente clásica, tan clásica como las hay. ¿Qué te hace pensar que esto es una teoría cuántica?

¿Puede explicar qué quiere decir con su objeción de que no es cuántico? QED, una teoría cuántica bien conocida, se define de la misma manera. ¿Objetas que S = ∫ ψ ¯ ( i ℏ C γ m D m − metro C 2 ) ψ − 1 4 m 0 F m v F m v no es cuántico, por lo tanto no puede ser QED? Supongo que estoy confundido por el comentario.
Además, ¿mi Lagrangiano describe algo de valor, como el movimiento de los fermiones en un espacio-tiempo curvo... algo así?
@ Anon21 QED es un procedimiento extremadamente no trivial que implica escribir diagramas de Feynman, volver a normalizarlos e interpretar los resultados como una serie asintótica que aproxima elementos de matriz de operadores cuánticos. El lagrangiano es solo el punto de partida de este largo y tedioso camino. Si bien al final funciona para QED, no funciona para la gravedad, que es (una de las) razones reales por las que la gravedad cuántica es difícil. No abordaste ninguno de los problemas reales.
Ah, está bien, así que técnicamente aún no sabemos si mi Lagrangiano es o no la gravedad cuántica; solo lo sabremos al final del proceso. (pero probablemente podemos asumir con seguridad que fallará porque es famoso por la mayoría de los intentos de este tipo). ¿Estamos en la misma página? Lo siento, esto es muy confuso para mí.
@ Anon21 no se preocupe, me complace ayudar. Sí, eso sería mayormente exacto, excepto por la otra parte, que es que tu lagrangiano es Yang-Mills, no la gravedad. (Esta es realmente una diferencia muy importante, estas son fuerzas muy diferentes que se comportan de diferentes maneras, por ejemplo, la gravedad es universalmente atractiva y Yang-Mills no lo es).
¿Puede echar un vistazo a mi reformulación de la pregunta aquí physics.stackexchange.com/questions/675402/… , por favor?
Reemplazar la derivada covariante U(1)U(1)U(1) con la derivada covariante GL(4,R)GL(4,R)GL(4,\mathbb{R})... ¿da gravedad cuántica?
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