¿Cómo emerge la relatividad general de la gravedad de Brans-Dicke con un parámetro omega infinito?

Question

¿Cómo emerge la relatividad general de la gravedad de Brans-Dicke con un parámetro omega infinito?

beliceño

La acción de la teoría de la gravedad de Brans-Dicke-Jordan es

S = \int d^{4} X \sqrt{- gramo} (\frac{ϕ R - ω \frac{\partial_{a} ϕ \partial^{a} ϕ}{ϕ}}{dieciséis π} + L_{METRO}) .

$\\S =\int d^4x\sqrt{-g} \; \left(\frac{\phi R - \omega\frac{\partial_a\phi\partial^a\phi}{\phi}}{16\pi} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\right).$

Las ecuaciones de movimiento correspondientes son

◻ ϕ = \frac{8 π}{3 + 2 ω} T {GRAMO}_{a b} = \frac{8 π}{ϕ} T_{a b} + \frac{ω}{ϕ^{2}} (\partial_{a} ϕ \partial_{b} ϕ - \frac{1}{2} {gramo}_{a b} \partial_{C} ϕ \partial^{C} ϕ) + \frac{1}{ϕ} (\nabla_{a} \nabla_{b} ϕ - {gramo}_{a b} ◻ ϕ)

$\Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T\\ G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi}T_{ab}+\frac{\omega}{\phi^2} (\partial_a\phi\partial_b\phi-\frac{1}{2}g_{ab}\partial_c\phi\partial^c\phi) +\frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi-g_{ab}\Box\phi)$

dónde $\\G_{ab}$ es el tensor estándar de Einstein y $\mathcal{L}_\mathrm{M}$ es la densidad lagrangiana de la materia. Se supone que es obvio que esto se reduce a la relatividad general en el límite de infinitamente grande $\omega$ . ¿Cómo es eso? Usted puede suponer que el rastro $\\T$ del tensor de energía de tensión $\\T_{ab}$ no es cero

Respuestas (1)

¿Cómo emerge la relatividad general de la gravedad de Brans-Dicke con un parámetro omega infinito?

Ron Maimón · Answer 1

Es obvio porque los términos cinéticos escalares adquieren una acción infinita para cualquier valor de la derivada, obligando a que la derivada sea cero y el escalar constante. Esta es solo una propiedad limitante general de un campo escalar.

Si consideras la acción

\int A | \nabla ϕ |^{2} + j (X) ϕ (X) d^{3} X

$\int A |\nabla\phi|^2 + J(x)\phi(x)d^3x$

Donde J es una fuente (clásica), la respuesta a la fuente es a través del propagador:

\frac{j (k) j (k^{'})}{A k^{2}}

${J(k)J(k')\over A k^2}$

Puede absorber la constante A en el campo, lo que hace que el acoplamiento a la fuente desaparezca como $A\rightarrow \infty$ , o bien mantener el acoplamiento constante, en cuyo caso la respuesta de campo se desvanece, como se refleja en el propagador que se desvanece.

El resultado final es que una A grande fija el campo para que sea constante, el campo no responde a las fuentes y encuentra que la teoría de Brans-Dicke tiene una constante $\phi$ , en cuyo límite la acción y las ecuaciones de movimiento se vuelven las mismas que GR.

Usted podría estar preocupado por la $\phi$ en el denominador, pero esto se debe enteramente a las desafortunadas convenciones que eligieron Brans y Dicke. $\phi$ debe pensarse como haciendo pequeñas fluctuaciones alrededor de un valor constante. lo mejor es llamar $\phi$ por el nombre $e^{\phi}$ , de modo que la singularidad en el campo cero se aleja a $-\infty$ . Esta es la convención de dilatación en la teoría de cuerdas.

Ok, Ron, entonces el truco está en darse cuenta de ese gran $\omega$ simplemente conduce $\phi$ a un valor constante, no a cero. [Solo la pieza de $\phi$ procedente de $\\T$ tiende a cero.] Y debido a que la solución general de $\Box\phi=0$ es una onda con un vector de onda nulo $\\k_a$ , insertando esto en las causas lagrangianas $\partial_a\phi\partial^a\phi$ ser multiplicado por $\\k_ak^a$ = 0, lo que hace que este término sea cero al igual que para la constante $\phi$ . ¿Es eso correcto?
El único problema que veo es que aún tendría soluciones no constantes para $\Box\phi = 0$ en el $\phi R$ término. ¿Cómo argumenta que estas soluciones deberían ser ignoradas? ¿La misma razón por la que ignoramos las ondas gravitacionales al calcular la métrica alrededor de una estrella?
@Belizean: Estas soluciones son ondas viajeras, y no pueden obtenerse en omega infinito --- nada las emitiría. Si los pones a mano, todavía tienen un efecto.
Es razonable. Las soluciones a $\Box\phi = 0$ están matemáticamente permitidas pero físicamente ignoradas, porque no habría nada que las causara.

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