Conjuntos de matrices aleatorias del modelo BMN

Mis amigos que trabajan en Thermalization of Black Holes explicaron que las soluciones a sus ecuaciones diferenciales con valores matriciales (a partir de la implementación numérica del modelo matricial de Berenstein-Maldacena-Nastase ) dan como resultado soluciones caóticas. Están literalmente obteniendo matrices aleatorias. Para el espectro de valores propios, se esperaría una distribución de semicírculo pero para finito$N$obtener algo ligeramente diferente.

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La prueba de la ley del semicírculo de Wigner proviene del estudio del núcleo GUE $$K_N(\mu, \nu)=e^{-\frac{1}{2}(\mu^2+\nu^2)} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sum_{j=0}^{N-1}\frac{H_j(\lambda)H_j(\mu)}{2^j j!}$$ La densidad de valores propios proviene de establecer$\mu = \nu$. La identidad del semicírculo de Wigner es una identidad polinomial de Hermite $$\rho(\lambda)=e^{-\mu^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sum_{j=0}^{N-1}\frac{H_j(\lambda)^2}{2^j j!} \approx \left\{\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2N}}{\pi} \sqrt{1 - \lambda^2/2N} & \text{if }|\lambda|< 2\sqrt{N} \\ 0 & \text{if }|\lambda| > 2 \sqrt{N} \end{array} \right.$$ Los asintóticos provienen de identidades de cálculo como la fórmula de Christoffel-Darboux.

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Para matrices de tamaño finito, la distribución de valores propios es todavía un semicírculo.

Trazar los valores propios de un aleatorio$4 \times 4$matriz, las desviaciones de la ley del semicírculo son notables con 100.000 intentos y un tamaño de intervalo de 0,05. GUE está en marrón, GUE|trace=0 está en naranja.

Ejes no escalados, lo siento!

Código matemático:

num[] := RandomReal[DistribuciónNormal[0, 1]]
herm[N_] := (h =
   Tabla[(num[] + I num[])/Sqrt[2], {i, 1, N}, {j, 1, N}]; (h +
     Conjugar[Transponer[h]])/2)

n = 4;
ensayos = 100000;

propio = {};
Do[eigen =
   Join[(mat = herm[n]; mat = mat - Tr[mat] IdentityMatrix[n]/n ;
     Re[Valores propios[mat]]), eigen], {k, 1, ensayos}];
Histograma[eigen, {-5, 5, 0.05}]
BinCounts[eigen, {-5, 5, 0.05}];
a = ListPlot[%, Unido -> Verdadero, PlotStyle -> Naranja]

propio = {};
Do[eigen =
   Join[(mat = herm[n]; mat = mat; Re[Valores propios[mat]]), eigen], {k,
   1, ensayos}];
Histograma[eigen, {-5, 5, 0.05}]
BinCounts[eigen, {-5, 5, 0.05}];
b = ListPlot[%, Unido -> Verdadero, PlotStyle -> Marrón]

Mostrar [a, b]

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Mi amigo pregunta si **sin rastro** conjunto GUE$H - \frac{1}{N} \mathrm{tr}(H)$puede ser analizado. Los gráficos sugieren que todavía deberíamos obtener un semicírculo en el gran$N$límite. por finito$N$, las oscilaciones (respecto al semicírculo) son muy grandes. Tal vez tenga algo que ver con los estados propios del oscilador armónico relacionado.

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La traza es el valor propio promedio y los valores propios se están "volviendo a centrar". Podríamos imaginar 4 fermiones perfectamente centrados: se repelerán entre sí. La distribución conjunta es: $$e^{-\lambda_1^2 -\lambda_2^2 - \lambda_3^2 - \lambda_4^2} \prod_{1 \leq i,j \leq 4} |\lambda_i - \lambda_j|^2$$ En promedio, los fermiones se asentarán donde están las jorobas. Sus ubicaciones deberían ser más pronunciadas ahora que su "centro de masa" está fijo.