¿La rotación de Wick es un cambio de coordenadas?

Question

¿La rotación de Wick es un cambio de coordenadas?

Física
tensor-métrico
rotación de mecha
números complejos
sistemas coordinados
relatividad especial

Matt0410

Tengo entendido que una rotación de Wick es un cambio de coordenadas de $(t,x) \rightarrow (\tau , x)$ dónde $\tau = i t$ . En el $(t,x)$ sistema de coordenadas, la métrica de Minkowski tiene componentes $\eta_{\mu \nu} = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ . Usando la fórmula para la transformación de los componentes bajo un cambio de coordenadas:

η_{α β} = \frac{\partial X^{m}}{\partial X^{' α}} \frac{\partial X^{v}}{\partial X^{' β}} η_{m v}

$\eta_{\alpha \beta} = \frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha}\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\beta}\eta_{\mu \nu}$

encontramos en el $(\tau,x)$ sistema de coordenadas, la métrica tiene componentes $\eta_{\alpha \beta} = \mathrm{diag}(-1,-1,-1,-1)$ .

En QFT para el aficionado dotado de Lancaster y la ecuación de Blundell 25.4, se establece que bajo una rotación de Wick, la magnitud de un vector está dada por

X^{2} = - X_{mi}^{2}

$x^2 = - x_E^2$

dónde $x$ es el vector de Minkowski y $x_E$ es el vector euclidiano correspondiente. Ahora estoy confundido por esta declaración, porque los objetos $x$ y $x_E$ son representaciones coordinadas de un vector, digamos $X$ , que es un objeto geométrico independiente del sistema de coordenadas que elijamos, por lo que deberíamos esperar

| X |^{2} = η_{m v} X^{m} X^{v} = η_{α β} X_{mi}^{α} X_{mi}^{β}

$|X|^2 = \eta_{\mu \nu} x^\mu x^\nu = \eta_{\alpha \beta} x^\alpha_E x^\beta_E$

en otras palabras, la magnitud del vector $X$ no debe depender del sistema de coordenadas que utilicemos. Entonces, bajo una simple rotación de Wick, ¿cómo podría cambiar la magnitud de un vector?

Estaba pensando, tal vez una rotación de Wick es una rotación activa en el plano complejo, pero el libro establece que la métrica también se transforma para que podamos usar la métrica euclidiana. Si transformamos tanto el vector como la métrica, eso sugiere un cambio de coordenadas, pero si solo cambia el vector, sugiere algún tipo de transformación activa.

Mi pregunta

¿Es una rotación de Wick simplemente un cambio de coordenadas o es una rotación activa del vector en el plano complejo?

knzhou

Este es un horrible malentendido que los libros de texto "casuales" propagan... una rotación de Wick no es un cambio de coordenadas. Las rotaciones de la mecha tienen consecuencias drásticas, mientras que, como señalas correctamente, ¡un cambio de coordenadas apenas hace nada!

knzhou

Decir que una rotación de Wick es un cambio de coordenadas es la segunda explicación errónea más común y la segunda peor, siendo la primera que "es una sustitución

t \to i t

$t \to it$ ". La gran mayoría de los libros cubren esta cosa totalmente básica de forma incorrecta. Debe pensarse en términos de contornos giratorios de integración.

MannyC

Mi respuesta aquí debería ser relevante.

Respuestas (1)

¿La rotación de Wick es un cambio de coordenadas?

Este es un horrible malentendido que los libros de texto "casuales" propagan... una rotación de Wick no es un cambio de coordenadas. Las rotaciones de la mecha tienen consecuencias drásticas, mientras que, como señalas correctamente, ¡un cambio de coordenadas apenas hace nada!
Decir que una rotación de Wick es un cambio de coordenadas es la segunda explicación errónea más común y la segunda peor, siendo la primera que "es una sustitución $t \to it$ ". La gran mayoría de los libros cubren esta cosa totalmente básica de forma incorrecta. Debe pensarse en términos de contornos giratorios de integración.

Michael Seifert · Answer 1

[El siguiente es un comentario medio recordado que mi asesor de doctorado me dijo hace algunos años, por lo que es posible que lo haya distorsionado. Acepto correcciones en los comentarios; siéntase libre de decirme que también estoy lleno de eso.]

Una forma de pensar en una rotación de Wick es que las variedades "euclidianas" y "lorentzianas" (las cuales son variedades reales de cuatro dimensiones, con una métrica particular) pueden verse como hipersuperficies que se encuentran en una variedad compleja subyacente de cuatro dimensiones. Por ejemplo, en la variedad compleja $\mathbb{C}^4$ con la métrica obvia, puede encontrar hipersuperficies con cuatro dimensiones (reales) que son difeomorfas al cuatriespacio euclidiano, e hipersuperficies con cuatro dimensiones (reales) que son difeomorfas al espacio de Minkowski. La razón por la que las rotaciones de Wick a menudo tienen éxito en el espacio-tiempo plano es que las funciones que estamos viendo son generalmente holomorfas y, por lo tanto, pueden continuarse analíticamente de una "sección transversal" a otra.

En esta imagen, un vector que se encuentra en una sección transversal euclidiana de $\mathbb{C}^4$ debe ser activamente "girado" en la sección transversal de Lorentzian. El simple hecho de cambiar las coordenadas en su sección transversal no "atraerá" mágicamente un vector que aún no se encuentra en esa sección transversal.

Esta imagen, por cierto, no se traslada necesariamente al análisis en espaciotiempos curvos. Podríamos pensar que si la métrica lorentziana es de la forma

d s^{2} = - F (X^{i}, t) d t^{2} + {gramo}^{i j} d X_{i} d X_{j}

$ds^2 = - f(x^i,t) dt^2 + g^{ij} dx_i dx_j$ en algún conjunto de coordenadas, entonces podríamos definir un análogo euclidiano

d s_{mi}^{2} = F (X^{i}, t) d t^{2} + {gramo}^{i j} d X_{i} d X_{j}

$ds_E^2 = f(x^i,t) dt^2 + g^{ij} dx_i dx_j$ y hacer el análisis allí. Sin embargo, no hay garantía de que exista una variedad compleja que tenga estas dos secciones transversales, por lo que no podemos confiar en los resultados euclidianos para decirnos algo sobre la física lorentziana.

¿Hay una guía decente sobre qué partes de la física lorentziana puedes y no puedes emular después de la rotación de la mecha? En Lattice QCD parecen usar este mecanismo para hacer muchos cálculos de propiedades físicas reales, por ejemplo.

¿La rotación de Wick es un cambio de coordenadas?

Matt0410

knzhou

knzhou

MannyC

Respuestas (1)

Michael Seifert

bjornw

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