Convenciones de firma métrica: ¿signo menos para xaxax^a o xaxax_a?

En general, al reemplazar un índice gratuito por uno específico, nunca se introducen signos:

$$\begin{align} \partial_a & \to (\partial_0, \partial_i) \\ \partial^a & \to (\partial^0, \partial^i). \end{align}$$ Esto es válido para todas las firmas. (En una nota al margen, estoy siendo pedante acerca de no usar " $=$" signos por una razón: un tensor no es igual a un componente único, aunque no especificado, de sí mismo).

La única cuestión, entonces, es la relación entre$\partial_0$y$\partial^0$, y entre$\partial_i$y$\partial^i$. En general, de nuevo sin tener en cuenta la firma, tenemos

$$\begin{align} \partial_a & = g_{ab} \partial^b \\ \partial^a & = g^{ab} \partial_b. \end{align}$$ En relatividad especial, $g_{ab} = \eta_{ab}$y $g^{ab} = \eta^{ab}$, donde ahora tenemos que acordar una firma para concluir $$\begin{align} \partial_0 & = -\partial^0 & \partial_i & = \partial^i \\ \partial^0 & = -\partial_0 & \partial^i & = \partial_i. \end{align}$$

En realidad, su preocupación acerca de dónde colocar los letreros significa que ha puesto un extra. De hecho, tenemos

$$x^a p_a = x^0 p_0 + x^1 p_1 + x^2 p_2 + x^3 p_3.$$ Esto es exactamente lo mismo que $$x_a p^a = x_0 p^0 + x_1 p^1 + x_2 p^2 + x_3 p^3.$$ Lo anterior se cumple en GR en cualquier firma. Si estás en SR y tienes la $(-,+,+,+)$firma, entonces puedes escribir $$x^a p_a = -x^0 p^0 + x^1 p^1 + x^2 p^2 + x^3 p^3$$ o $$x^a p_a = -x_0 p_0 + x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3.$$ Tenga en cuenta que el término negativo solo ingresa cuando insiste en usar los mismos índices (ya sea superior o inferior) para ambos $x$y $p$. También tenga en cuenta que estas dos fórmulas solo se cumplen en SR, donde el intercambio de índices en el peor de los casos introdujo un negativo. En general, $$x^a p_a = g_{ab} x^a p^b,$$ que puede tener $16$términos en la suma.

Usando su firma métrica, la métrica es:

$$\eta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$$

El vector de posición genérico se define como (en cartesiano)

$$x^{\mu}=\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\end{pmatrix}$$ y la cantidad $x_{\mu}=\eta_{\mu\nu}x^{\nu}$. Entonces puedes ver eso $x_\mu$se convierte en el que tiene un signo menos en $x_0$.

Entonces, la derivada se define como:

$$\partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}$$ Entonces puedes ver eso $\partial_0=\frac{\partial}{\partial t}$es positivo. Cuando aplica la métrica, $$\partial^\mu=\eta^{\mu\nu}\partial_\nu=\eta^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^\nu}=\frac{\partial}{\partial x_\mu}$$ y por lo tanto $\partial^0$se vuelve negativo.

Entonces, para responder a su pregunta, sí, se aplica la convención. El cambio de un superíndice a un subíndice se realiza aplicando la métrica.$A_a=\eta_{ab}A^b$y$A^a=\eta^{ab}A_b$y$\eta^{ab}\eta_{ab}=4$.

Sí, de hecho lo hace.

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¿ Has tomado un curso de matemáticas sobre espacios métricos tal vez?

Un espacio métrico, más o menos, es algo en lo que tenemos una noción de cómo medir las cosas.

Entonces, por ejemplo, el espacio euclidiano es un espacio muy similar, mides el cuadrado de la magnitud de un vector para ser

$$\vec{x} \cdot \vec{x} = (x^1)^2 + (x^2)^2 + (x^3)^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2$$

Esto también podría escribirse usando una métrica como

$$\vec{x} \cdot \vec{x} = g_{ij} x^i x^j$$

dónde$i = 1,2,3$y$j = 1,2,3$. Aquí estoy usando la Convención de Suma de Einstein , tal que$g_{ij} x^i x^j$con el$i$y$j$repetido así, uno superior y otro inferior, es una abreviatura de

$$g_{ij} x^i x^j = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 g_{ij} x^i x^j$$

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Así que nuestra métrica,$g_{ij}$es solo

$$g_{ij} = \mbox{diag}(+1,+1,+1)$$

Eso es cuando$i=j$obtenemos$g_{ii} = + 1$, mientras que si$i \neq j$obtenemos cero,$g_{ij}\vert_{i\neq j} =0$.

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Luego verá que al subir y bajar índices usando la métrica como

$$x^i = g^{ij} x_j \quad \mbox{ or } \quad x_i = g_{ij} x^j$$

que el levantado$x^i$y el bajado$x_j$son iguales, ya que$g_{ij}$son cada uno justo$+1$.

Así que eso fue agradable y fácil.

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Ahora, cuando nos trasladamos al espacio de Minkowski para la relatividad especial , se vuelve un poco más complicado. Los componentes métricos (el equivalente de la$g_{ij}$) ya no son todos$+1$. solemos usar$\eta^{\mu \nu}$para la métrica del espacio de Minkowski, donde

$$\eta^{\mu \nu} = \mbox{diag}(-1,+1,+1,+1)$$

en su convención. (Debe tenerse en cuenta que no todos usan el mismo conjunto de +1 y -1, por lo que siempre debe verificar esto y asegurarse. Puede ser muy frustrante cuando algo no funciona porque la otra persona estaba usando un signo diferente. !).

De todos modos, un vector, como$A^{\mu}$como pides, se puede rebajar con el tensor métrico como

$$A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu}$$

Entonces, dado que por definición

$$A_{\mu} = (A^0, A^i)$$

cuando bajamos el índice obtenemos

$$A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu} = (g_{0 \nu} A^{\nu}, g_{i \nu} A^{\nu}) = \left( \sum_{\nu = 0}^3 g_{0 \nu} A^{\nu}, \sum_{\nu = 0}^3 g_{i \nu} A^{\nu} \right)$$

Pero dado que todos los$g_{\mu \nu}$son cero cuando$\mu \neq \nu$, los únicos en la suma que no son cero son

$$A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu} = (g_{0 0} A^{0}, g_{i i} A^{i})$$

y sabemos esto por la definición de nuestro tensor métrico anterior, a saber

$$A_{\mu} = g_{\mu \nu} A^{\nu} = ((-1) A^{0}, (+1) A^{i}) = (-A^{0}, A^{i})$$

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Puede usar el tensor métrico para subir y bajar cualquier índice, como, por ejemplo,

$$T_{\mu \nu \rho}^{\; \; \; \; \sigma} = g_{\mu \alpha} g_{\nu \beta} g^{\sigma \gamma} T^{\alpha \beta}_{\; \; \; \rho \gamma}$$