¿Está bien rotar Wick para dar el negativo de la métrica euclidiana? Además, ¿podríamos hacer que las coordenadas similares al espacio sean imaginarias?

Hay 2 partes en mi pregunta:

1) Digamos que elegimos que la firma métrica sea (-+++), como en la página de Wikipedia . Entonces el intervalo invariante en el espacio de Minkowski se escribe:

d s 2 = − ( d t 2 ) + d X 2 + d y 2 + d z 2

Tomando t = − i τ da:

d s 2 = d τ 2 + d X 2 + d y 2 + d z 2

que es simplemente el intervalo invariante euclidiano. Esto funciona muy bien.

Sin embargo, considere las convenciones utilizadas por Peskin y Schroeder en su libro ("Una introducción a la teoría cuántica de campos"). Utilizan la signatura métrica (+---) (página xix, en "Notaciones y convenciones"). En la página 193 realizan una rotación Wick en una combinación lineal de momentos (definida en la página 191) llamada " yo ". En su transformación toman la componente cero yo 0 = i yo mi 0 , donde en el LHS es el formalismo de Minkowski y en el RHS es euclidiano. Usando esta prescripción tendríamos para el intervalo invariante, t = i τ , entonces el intervalo de Minkowski:

d s 2 = d t 2 − ( d X 2 ) − ( d y 2 ) − ( d z 2 )

se convertiría:

d s 2 = − ( d τ 2 ) − ( d X 2 ) − ( d y 2 ) − ( d z 2 )

Entonces la primera pregunta es:

¿Es un problema que el resultado aquí sea negativo de lo que normalmente usaríamos para el intervalo invariante euclidiano?

Mi suposición es que no importa, pero sería bueno obtener una confirmación de esto.

2) Si estamos dispuestos a aceptar que las versiones negativas del intervalo euclidiano están bien, ¿no podríamos definir nuestra rotación Wick también de una manera diferente?

Tomemos, por ejemplo, la primera firma métrica de Minkowski (-+++), tal que:

d s 2 = − ( d t 2 ) + d X 2 + d y 2 + d z 2

¿Hay algo de malo en definir nuestra rotación Wick como t = τ , X 1 = i X 1 , X 2 = i X 2 , y X 3 = i X 3 , tal que obtenemos para el intervalo invariante euclidiano:

d s 2 = − ( d τ 2 ) − ( d X 2 ) − ( d y 2 ) − ( d z 2 )

Por supuesto, la misma rotación de Wick podría aplicarse al intervalo invariante de Minkowski que usa la firma métrica (+---):

d s 2 = d t 2 − ( d X 2 ) − ( d y 2 ) − ( d z 2 )

para dar el intervalo invariante euclidiano original (no negativo):

d s 2 = d τ 2 + d X 2 + d y 2 + d z 2

Ambos métodos de rotación de Wick (hacer que la coordenada temporal sea imaginaria o hacer que los componentes espaciales sean imaginarios) me parecen viables. Tal vez sea más conveniente alterar los componentes temporales, ya que implica menos álgebra. Por ejemplo, si hacemos imaginarias las componentes espaciales, una integral sobre el espacio de Minkowski ∫ d d X = ∫ d X 0 , d X 1 , . . . , d X d adquiriría una i, -1, -i o 1 al frente cuando rotamos Wick, dependiendo de con cuántas coordenadas espaciales trabajemos.

Mi agradecimiento por cualquier comentario.

¿Alguien podría aclarar por qué el resultado 6.50 de la página 193 de Peskin no es válido para m=3 y solo para m>3? La rotación de la mecha solo usa: 1. El integrando debe ir rápidamente a cero. 2. Encerrando cualquier polo. No veo cómo esto tiene algo que ver con el poder general del integrando. Tampoco tiene sentido si uso el conteo de potencias de momentos.

Respuestas (1)

Si no recuerdo mal, esta sección de Peskin & Schroeder usa la rotación de Wick para resolver integrales de tipo

∫ 1 k norte + . . . ⋅ . . .
Dónde k norte = k ⋅ k ⋅ k . . . ( norte t i metro mi s ) . Al realizar la rotación de Wick, de repente obtenemos un problema de simetría esférica que nos permite usar los trucos conocidos para tal caso. Pero fíjate que ( pag ⋅ k ) + − − − = − ( pag ⋅ k ) − + + + - al realizar la rotación de Wick en la firma inversa, solo obtendremos un signo menos general y eso no cambia la aplicabilidad de nuestro truco. Así que no supone ningún problema.

Como propones, siempre y cuando cuides de no cruzar ninguna singularidad con tu contorno de integración, puedes realizar una rotación de Wick en otras coordenadas. Si hace esto correctamente sin olvidar los factores de los diferenciales o el cambio de orientación del contorno, el resultado debería ser el mismo.

Tenga en cuenta que otras fórmulas también cambian de signo al cambiar de firma. P.ej

{ γ m , γ v } = 2 gramo m v , ( + − − − ) → { γ m , γ v } = − 2 gramo m v , ( − + + + )
etcétera. Entonces, para comparar los resultados de diferentes firmas, tendría que rastrear todos estos signos y corregirlos. Al final, realmente no cambia ninguno de los trucos de los cálculos, ni siquiera las predicciones experimentales.

Gracias por la respuesta, me resultó muy útil. Mi problema original fue que estoy trabajando en la firma opuesta a Peskin y Schroeder. En su ecuación anterior (6.49) tienen yo mi 2 + Δ en el denominador (ambos con los mismos signos), donde yo mi es la cantidad rotada de la mecha. Esto permite el uso de la función beta en la evaluación de la integral. Sin embargo, con la firma métrica opuesta, el yo mi 2 se vuelve negativo, lo que dificulta el uso de la función beta. Wick girando las coordenadas espaciales en su lugar resuelve este problema como yo mi 2 y Δ obtener el mismo signo.
Nunca pasé por los cálculos de firma opuestos explícitamente, pero en el -+++ tienes pag 2 = − metro 2 , por lo que el propagador tendrá 1 / ( pag 2 + metro 2 ) en lugar de lo habitual 1 / ( pag 2 − metro 2 ) . Esto cambiará tu Δ y otras cosas, así que creo que al final usarás el mismo truco. Pero como digo, no lo he probado.
Hola, solo para avisarte. Estaba siendo un poco tonto. Es perfectamente posible usar la función beta incluso si yo mi 2 tiene un signo diferente.
¿Está bien rotar Wick para dar el negativo de la métrica euclidiana? Además, ¿podríamos hacer que las coordenadas similares al espacio sean imaginarias?
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