¿Razón de la discrecionalidad que surge en la mecánica cuántica?

Si solo se me permite usar una sola palabra para dar una razón intuitiva demasiado simplificada para la discreción en la mecánica cuántica, elegiría la palabra ' compacidad '. Ejemplos:

1. El número finito de estados en una región compacta del espacio de fase. Ver, por ejemplo , esto y esto Publicaciones de Phys.SE.

2. El espectro discreto para generadores de álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto , por ejemplo, operadores de momento angular. Ver también esta publicación de Phys.SE.

3. Por otro lado, el espacio de posición$\mathbb{R}^3$en mecánica cuántica no relativista elemental no es compacto, de acuerdo que en principio podemos encontrar la partícula puntual en cualquier posición continua$\vec{r}\in\mathbb{R}^3$. Ver también esta publicación de Phys.SE.

Hay varias formas de discreción en la teoría cuántica. El más simple es la discreción de los valores propios y los estados propios contables asociados. Esas surgen de manera similar a las ondas estacionarias discretas en una cuerda de guitarra. Las condiciones de contorno solo permiten ciertas ondas estacionarias que encajan muy bien en la región impuesta en el espacio. Aunque la cuerda es un objeto continuo, su espectro se vuelve discontinuo y, naturalmente, se etiqueta con números naturales. Exactamente lo mismo sucede en potenciales cuánticos ilimitados (desde arriba) como el pozo infinito o el oscilador armónico, donde también se obtienen ondas cuánticas estacionarias discretas. (Otros potenciales pueden generar valores propios discretos y continuos al mismo tiempo)

Otra razón para la discreción viene con los sistemas de partículas múltiples. La teoría cuántica requiere que un sistema que se realice en el espacio-tiempo contenga una representación unitaria del grupo de simetría del espacio-tiempo, el grupo de lorentz. De hecho, puede definir una partícula en la teoría cuántica como un subsistema que contiene dicha representación de grupo. Y debido a que no puede tener ninguna fracción no entera de una representación de grupo unitario, necesita tener un número entero de ellos en su sistema total. Entonces, la cantidad de partículas también es una característica discreta (esperada), y juega un papel cuando se habla de fotones individuales, por ejemplo, que se absorben por completo o no se absorben en absoluto.

Y finalmente hay una forma de discreción que viene con la medición cuántica. El postulado de la medida dice que el resultado de una medida es un valor propio de un operador hermitiano llamado observable. Ahora, la existencia de espectros discretos para estos operadores está relacionada con mi primer punto (condiciones de contorno), pero este va más allá. Si bien la existencia de un espectro discreto de las energías de un sistema aún permite todos los valores de energía continuos por superposición, el resultado de la medición da exactamente un resultado (a menudo discreto). Esto es responsable de la discreción de los haces en el experimento de Stern-Gerlach, por ejemplo. Por qué la medición cuántica funciona de esta manera es esencialmente una pregunta abierta incluso hoy. Hay algunos enfoques para responderla, pero no hay una respuesta generalmente aceptada que explique todos los aspectos de manera convincente.

Si lo desea, puede volver a la derivación de Planck del espectro de energía del cuerpo negro, también conocida como la ley de Planck , así como el uso que hizo Einstein del trabajo de Planck en su explicación del efecto fotoeléctrico (que le valió el premio Nobel) para primero entender algo de la motivación experimental. Sin embargo, para comprender las raíces de la mecánica cuántica en la física atómica, uno debe volver al modelo de hidrógeno de Bohr y Rutherford. Una introducción a la física cuántica de French y Taylor analiza el modelo de Bohr-Rutherford del átomo de hidrógeno en la página 24. Este modelo se introdujo alrededor de 1913 y Bohr proporcionó dos postulados clave:

1. Un átomo tiene varios "estados estacionarios" posibles. En cualquiera de estos estados, los electrones realizan movimientos orbitales de acuerdo con la mecánica newtoniana, pero (contrariamente a las predicciones del electromagnetismo clásico) no irradian mientras permanezcan en órbitas fijas.

2. Cuando el átomo pasa de un estado estacionario a otro, correspondiente a un cambio de órbita (un "salto cuántico") de uno de los electrones del átomo, se emite radiación en forma de fotón. La energía del fotón es solo la diferencia de energía entre los estados inicial y final del átomo. La frecuencia clásica$\nu$se relaciona con esta energía a través de la relación de Planck-Einstein:

Lo cual fue descrito en el artículo de Bohr Sobre la constitución de átomos y moléculas . Estos postulados están ligeramente anticuados en las concepciones modernas del movimiento de los electrones, ya que ahora entendemos mejor las cosas en términos de la ecuación de Schrödinger , que permite un modelo extremadamente preciso del átomo de hidrógeno . Sin embargo, uno de los conceptos clave que introdujo Bohr es el Principio de Correspondencia , que según French y Taylor:

...requiere que las predicciones clásicas y cuánticas coincidan en el límite de los grandes números cuánticos...

Este es un ingrediente clave en la física moderna y se entiende mejor en términos de análisis asintótico . La mayoría de las teorías modernas se conectan con fenómenos reales observados en el gran límite N de la teoría.

Es cierto que estos son los orígenes prácticos de por qué tenemos la mecánica cuántica, en cuanto a la razón por la cual la naturaleza eligió estas cosas, la respuesta podría ser muy antrópica. Nosotros simplemente no existiríamos sin ellos. Dirac se preguntaba con frecuencia por qué y aquí estaba su respuesta en 1963 :

Parece ser una de las características fundamentales de la naturaleza que las leyes físicas fundamentales se describen en términos de una teoría matemática de gran belleza y poder, que requiere un nivel bastante alto de matemáticas para comprenderla. Usted puede preguntarse: ¿Por qué la naturaleza está construida de esta manera? Uno solo puede responder que nuestro conocimiento actual parece mostrar que la naturaleza está construida de esa manera. Simplemente tenemos que aceptarlo. Quizá se podría describir la situación diciendo que Dios es un matemático de muy alto nivel, y usó matemáticas muy avanzadas para construir el universo.

A pesar de varios intentos modernos de atacar los aspectos más metafísicos de esto y darles rigor, todavía no hay una respuesta realmente buena... como dijeron Feynman o Mermin :

¡Cállate y calcula!

En un sentido más matemático, la discreción simplemente surge de las matemáticas. Por ejemplo: La ecuación de Schrodinger es un problema clásico de Sturm-Liouville en ODE. https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm –Liouville_teoría

Eso significa que obtenemos funciones propias (nuestros estados propios en QM) y valores propios correspondientes a esas funciones propias (nuestros niveles de energía). El operador hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger sería nuestro propio operador SL adjunto.

¡Una pregunta muy interesante, por cierto!

A fines del siglo XIX, la física tuvo una crisis ordinaria: la física clásica en ese momento predijo que la intensidad de la radiación emitida por el cuerpo negro debe aumentar monótonamente con el aumento de la frecuencia de onda. Esto se puede ver en un gráfico (curva negra, 5000K):

Uno, sumando todas las energías que el cuerpo negro irradia desde todas las frecuencias puede mostrar que debe acercarse al infinito. Por lo tanto, el cuerpo negro irradiaría casi instantáneamente toda su energía y se enfriaría hasta el cero absoluto. Esto se conoce como " catástrofe ultravioleta ". Pero en la práctica, no fue así. El cuerpo negro realmente radió de acuerdo con una ley desconocida en ese momento (curva azul, 5000K).

En 1900 Max Plank utilizando suposiciones extrañas en ese momento, esa energía se absorbe o se emite discretamente, por cuantos de energía ($E=h\nu$) - fue capaz de derivar la ley de distribución espectral de intensidad correcta y resolver la catástrofe ultravioleta:

Albert Einstein en 1905 una vez más remendó la Física y demostró que los cuantos de Plank no son solo construcciones teóricas vacías, sino partículas físicas reales , que ahora llamamos fotones.

La discreción de la mecánica cuántica es evidente a partir de la evidencia experimental. Cualquier experimento, tomemos por ejemplo el gerlach de popa, dará respuestas probabilísticas bajo idénticas condiciones experimentales. La estructura matricial de la mecánica cuántica nos permite calcular solo las amplitudes de probabilidad de que sucedan los procesos.