Cuantificación geométrica de partículas idénticas

A menudo, en lugar de$\mathbf{R}^{3n}/S_n$, es posible que desee resolver la singularidad. Permítanme explicar un modelo de juguete donde esa resolución aparece de forma natural.

Considerar$n$partículas idénticas en$\mathbf{C}$con el espacio de configuración$M^n=(\mathbf{C}^n-\Delta)/S_n$. Puedes pensar en este espacio como el espacio de valores propios desordenados de$n\times n$matrices sobre$\mathbf{C}$, es decir$M^n=Mat_n(\mathbf{C})^{diag}/GL_n(\mathbf{C})$, dónde$Mat_n(\mathbf{C})^{diag}$es el espacio de matrices diagonalizables con valores propios distintos y$GL_n(\mathbf{C})$actúa por conjugación.

Un argumento heurístico (que es preciso cuando la acción de$G$es agradable) muestra que$T^*(M/G)\cong T^*M//G$, dónde$//$es la reducción hamiltoniana. En mi caso, hay una compactación bien conocida de$T^*M^n$llamado espacio de Calogero-Moser$C_n$obtenido por la reducción hamiltoniana de$T^* Mat_n(\mathbf{C})$a lo largo de alguna órbita.

Los paquetes cotangentes tienen cuantizaciones naturales (las funciones se reemplazan por operadores diferenciales en la base y el espacio de Hilbert es simplemente$L^2$funciones en la base), y la cuantización del espacio de Calogero-Moser$C_n$se obtiene mediante un procedimiento llamado reducción hamiltoniana cuántica a partir de la cuantización de$T^*Mat_n(\mathbf{C})$.

Para obtener una referencia, consulte las conferencias de Etingof http://arxiv.org/abs/math/0606233v4 . En particular, véase la proposición 2.6. Tenga en cuenta que él es más preciso que yo, y por lo tanto considera la acción por$PGL_n(\mathbf{C})$ya que no tiene ningún centro.

Tal cuantificación produce los mismos resultados que la cuantificación con el conjunto de coincidencia eliminado. Aquí está el por qué. Considere la forma canónica de realizar la cuantización geométrica de$T^*M$, a saber:

• El paquete de líneas es trivial
• La conexión viene dada por la forma canónica de 1$p\ dx$en notación física
• La foliación lagrangiana tiene fibras de$T^*M$para hojas

Esto produce mecánica cuántica en la imagen de posición.

Ahora, toma$X = T^*M^n / S_n$ser el espacio de fase orbifold de múltiples partículas. Paquetes de línea en$X$son solo$S_n$-paquetes de líneas equivalentes en$T^*M^n$. Por lo tanto, podemos tomar el mismo paquete de líneas con la acción de S_n ya sea trivial o multiplicada por el signo de la permutación. Todas las demás estructuras son S_n invariantes y por lo tanto descienden a$X$. Claramente, el resultado son bosones o fermiones dependiendo del haz de líneas elegido (representación de$S_n$)

EDITAR: Parece que no hay un análogo de este resultado para las estadísticas anyónicas con dim M = 2. Esto se debe a que para dim M = 2, el espacio de fase de partículas distinguibles del núcleo duro (incidencia eliminada) ya tiene un grupo fundamental no trivial.