¿Hay alguna razón por la que el subconjunto de nuestro espacio de Hilbert que corresponde a una partícula sea un subespacio vectorial?

Creo que puede entender la declaración si considera una formulación más general de un sistema cuántico y estados, en términos de$C^*$-álgebras.

Dado un$C^*$-álgebra (por ejemplo, el álgebra de grupo del grupo de Poincaré), entonces puede construir un$*$-representación del mismo en algún espacio de Hilbert por la construcción de Gelfand-Naimark-Segal (en realidad hay un$*$-isomorfismo entre cualquier$C^*$álgebra y un álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert).

Los estados cuánticos se definen como los funcionales lineales positivos de la norma uno en el$C^*$-álgebra. Ya que también hay un$1-1$correspondencia entre lo no degenerado$*$-representaciones de la$C^*$álgebra de grupos (de un grupo localmente compacto) y las representaciones unitarias fuertemente continuas del grupo mismo, se ve que las funcionales lineales del$C^*$El álgebra de Poincaré corresponde a los estados de cualquier representación irreducible del grupo de Poincaré.

La estructura del espacio de estados se hereda de la estructura del$C^*$-álgebra ya que es un subconjunto del dual topológico (puedes considerar muchas topologías en él, y es un conjunto convexo). En particular, la estructura del espacio vectorial está naturalmente definida, pero solo la suma convexa de dos estados vuelve a ser un estado, debido a la condición de la norma uno.

Creo que la definición cinemática de partículas de Wigner está fuertemente inspirada en los resultados de la teoría de la representación del grupo especial de Poincaré.$P=SL(2,\mathbb C)\ltimes\mathbb R^4$. Resulta que este grupo es de tipo I , y por lo tanto toda representación de$P$se descompone en una suma/integral directa de representaciones irreducibles. Esto es generalmente cierto para grupos compactos (ver el teorema de Peter-Weyl), pero falla en general para grupos no compactos, y$P$se sabe que es localmente compacto, no compacto. Por lo tanto, se puede restringir el análisis de las representaciones de$P$sólo a los irreductibles. Por el lema de Schur, el centro de tales representaciones contiene solo múltiplos de la identidad. Ejemplos de tales operadores son los operadores de Casimir$p^\mu p_\mu$y$W_\mu W^\mu$, dónde$p^\mu$es el operador de 4 impulsos y$W^\mu$es el pseudovector de Pauli-Lubanski . Dado que conmutan con todo en la representación y son autoadjuntos, hay números reales$m$y$j$tal que$p_\mu p^\mu = m^2I$y$W_\mu W^\mu = j^2I$. Estos dos números han sido interpretados por Wigner como la masa de una partícula y su espín (aquí la definición de partícula es puramente cinemática, en el sentido de que incluso un estado de partículas limitadas, como un átomo, se considera una partícula).

Dada ahora una representación genérica del grupo$P$en algún espacio de Hilbert$H$, se tiene una descomposición de$H$en subespacios invariantes (porque$P$es de tipo I), que puede indexarse ​​por pares$(m,j)$y una posible multiplicidad, y parece bastante natural interpretar cada uno de estos subespacios como aquellos asociados a estados de partículas con masa$m$y girar$j$.