Prueba rigurosa de la cuantización de Bohr-Sommerfeld

Sí, se puede precisar y corresponde al orden principal de la expansión semiclásica (aproximación WKB) en$\hbar$. Ver "Conferencias sobre mecánica cuántica para estudiantes de matemáticas" de Faddeev-Yakubovsky (§20, fórmula (13)). En el capítulo 4 de Lectures on the Geometry of Quantization de Bates-Weinstein, se explica un enfoque inspirado en la cuantización geométrica .

Esta respuesta aborda el origen geométrico de la condición de Bohr-Sommerfeld. En la cuantificación geométrica, la estructura adicional requerida más allá de los datos simplécticos del espacio de fase es una polarización. Los espacios de cuantificación se construyen como espacios de secciones polarizadas con respecto a una polarización. El tipo más "obvio" de polarización es la polarización de Kahler, donde los espacios de cuantización son espacios de secciones holomorfas de un haz de líneas precuántico. Ejemplos simples de sistemas que pueden cuantificarse mediante una polarización de Kahler son el oscilador armónico y el espín. Otro tipo de polarización es la polarización real (Por favor ver por ejemplo las conferencias de Blau), que es localmente equivalente a la polarización de un fibrado cotangente. Una polarización real frustra el espacio de fases (variedad simpléctica) en subvariedades lagrangianas. Cuando las hojas son compactas, el espacio cuántico de Hilbert consiste en secciones con apoyo solo en ciertas hojas, que son exactamente las que satisfacen la condición de Bohr-Sommerfeld. En este caso, el espacio de fase cuántico es generado por secciones distribucionales apoyadas únicamente en las hojas de Bohr-Sommerfeld (Este resultado se debe a Snyatycki). Por ejemplo, en el caso del espín, las hojas de Bohr-Sommerfeld son círculos pequeños con valores semienteros de la$z$coordenadas en la esfera bidimensional. Un ejemplo más sofisticado de hojas de Bohr-Sommerfeld es el sistema Gelfand-Cetlin en colectores de bandera.

Muchas fases clásicas admiten tanto Kahler como polarizaciones reales. Es interesante que en muchos casos los espacios de Hilbert de cuantización son unitariamente equivalentes (es decir, la cuantización es independiente de la polarización). Véase, por ejemplo , la exposición de Nohara .

Contrariamente a lo que generalmente se cree, se logra una aproximación semiclásica a través de dos series diferentes: una es la serie WKB y la otra es la serie Wigner-Kirkwood, siendo esta última una expansión de gradiente. En ambos casos, los valores propios se obtienen mediante la regla de Bohr-Sommerfeld pero solo en el orden principal. He probado esto aquí (este artículo apareció en Proceedings of Royal Society A). Esta prueba es rigurosa y bastante diferente de lo que se encuentra en los libros de texto estándar. Además, produce la serie completa para los autovalores exactos con el primer orden de la regla ordinaria de Bohr-Sommerfeld.

Aquí hay una forma muy básica de ver esto fácilmente:

Esto es Acción, busque la "Acción abreviada" , y tiene la unidad SI de Joule-segundo. Esta es la ecuación que usó Planck (y más tarde, Einstein):

Esto significa que la constante de Planck también tiene una unidad de Joule-segundo, por lo tanto, puedes interpretar$nh$como la Acción del sistema (ya que$n$es adimensional, mantendrá la unidad, y solo se usa para dar la respuesta "correcta", ya que no todos los sistemas mecánicos tienen$h$como la acción,$n$debería ser usado).

Asi que

tal vez se pueda derivar de la aproximación sobre la densidad de estados

con$H= P^{2}/2m +V(x)$es el hamiltoniano de la partícula y$\theta (x)$es la función de paso pesado