En la interpretación topos-teórica de la Física de Isham & Doering, ¿qué papel juega la lógica intuicionista?

Dado un$C^\ast$-álgebra$A$, su " Bohr topos " (ver allí para una encuesta) es el topos prehaz en sus subálgebras conmutativas. La idea aquí es que si pensamos en$A$como el álgebra de operadores cuánticos de un sistema mecánico cuántico (por ejemplo, todos los operadores acotados en el espacio de estados de Hilbert de un sistema), entonces las subálgebras conmutativas corresponden a observables simultáneos clásicos, y una pregavilla de estos es cualquier cosa que pueda ser " probado" por todos esos "contextos clásicos". Dado que Niels Bohr en sus escritos informales propagó la idea de que sea lo que sea la mecánica cuántica, debería ser comunicable mediante observaciones clásicas, se ha argumentado que esto formaliza la visión de Bohr sobre la física cuántica.

En cualquier caso, los tipos en la lógica interna del topos de Bohr, por lo tanto, los objetos del topos de Bohr, son todos "observaciones comprobables en contextos clásicos".

El principal resultado de esta construcción se puede resumir de la siguiente manera: un observable clásico interno al topos de Bohr es equivalentemente un observable cuántico en$A$, en el sentido de QM formulado en términos de álgebra de operadores. Ver cinemática de un topos de Bohr para más detalles. Esto puede sentirse como un estado de cosas satisfactorio. Sin embargo, todavía no está del todo claro a qué más conducirá esto.

Se debe tener cuidado con exagerar lo que logran las propuestas de Bohr. Todavía queda por demostrar si sirven como "fundamento de la física". Hasta ahora sirven para formalizar únicamente espacios de estado de sistemas mecánicos cuánticos. Efectivamente, son una forma de ver los espacios de Hilbert de manera que la noción de observables cuánticos encaja de forma más natural con la de los observables clásicos.

Los topos de Bohr ya no capturan la dinámica (por ejemplo, hamiltonianos) como tal. Mi alumno Joost Nuiten mostró cómo se pueden formular las redes locales de observables de QFT algebraica en términos de haces de topos de Bohr en el espacio-tiempo. Ver la tesis de licenciatura de Nuiten . Su principal resultado es que la localidad causal de la teoría cuántica de campos es equivalente a una propiedad de descenso natural del conjunto de toposiciones de Bohr asignadas a cada subconjunto abierto del espacio-tiempo.

Esto incorpora la dinámica teórica del campo cuántico en la teoría de los topos de Bohr. Pero aquí tampoco está del todo claro a qué conducirá esto. Si bien encuentro esto interesante, está lejos de ser la base de toda la física. Sin embargo, puede considerarse como una formulación topos-teórica de AQFT . Por agradable que sea, es discutible si AQFT es siquiera una base de toda la teoría cuántica de campos de Lorentz.

Si uno realmente quiere ver los fundamentos de la física, uno necesita profundizar un poco más, diría yo. He estado describiendo una propuesta bastante detallada sobre cómo hacer esto en Teoría del campo cuántico sintético y en los artículos vinculados desde allí.

Por cierto, Joost Nuiten está defendiendo hoy su tesis de maestría sobre este tema más completo. Véase en la tesis de maestría Nuiten su trabajo "Cuantización cohomológica de la teoría del campo límite precuántico local". Di una charla sobre esto hace dos días en el taller "Geometry and Physics XI" en Pittsburgh, ver Motivic quantization of local prequantum field theory .

Esto describe una historia en la que uno comienza en la teoría del topos infinito y descubre allí toda la teoría del campo precuántico local y, finalmente, su cuantización motívica a la teoría del campo cuántico local. La sección de ejemplos de la tesis de Nuiten muestra cómo se reproduce la mecánica cuántica ordinaria de esta manera, la cuantización de las variedades de Poisson, de las cadenas topológicas del modelo de Poisson, de las cadenas tipo II y de las cadenas heteróticas, reproduciendo en particular la función de partición de género de Witten de las cadenas heteróticas. Teoría de campo del modelo sigma 2d. Si nada más, esto muestra al menos que hay una física genuina no trivial capturada por esta formalización.

Mirando el primer artículo de su serie, A Topos Foundation for Physics: I. Formal Languages ​​for Physics

Dado un sistema físico cerrado, una teoría para él es una lógica intuicionista tipificada de orden superior.$L$, que tiene$\Sigma$, el tipo de espacio de estado; y$R$, el tipo cantidad-valor; y los tipos superiores son observables$A:\Sigma \rightarrow R$. Las proposiciones sobre el sistema son subtipos de$\Sigma$que formarán un álgebra de Heyting, y a los que se les asignan valores de verdad a través del tipo Verdad$\Omega$, ese es el identificador del subobjeto.

Entonces, una representación de$L$en un topos$T$es una teoría física concreta . Cuando el topos$T$es$Set$, esto se reduce a la descripción realista clásica , donde explican que las proposiciones sobre el sistema son manejadas por la lógica booleana, en lugar de la lógica intuicionista del topos.

Justifican la introducción de un tipo de cantidad al criticar la suposición de que las cantidades deben tener un valor real. En cuanto a la lógica intuicionista, dicen en una nota al pie:

La principal diferencia entre los teoremas demostrados mediante la lógica de Heyting y los de la lógica booleana es que en los primeros no se pueden utilizar demostraciones por contradicción. En particular, esto significa que uno no puede probar que algo existe argumentando que la suposición de que no existe conduce a la contradicción; en su lugar, es necesario proporcionar una prueba constructiva de la existencia de la entidad en cuestión. Podría decirse que esto no impone ninguna restricción importante en la construcción de teorías de la física.

Se podría argumentar que esto es lógica intuicionista vista desde un punto de vista físico , de la misma manera que los físicos juegan rápido y suelto con el cálculo y los argumentos limitantes.