Álgebra de Virasoro vs Álgebra de Witt

Básicamente, la razón es que la simetría conforme clásica ya no se mantiene en el nivel cuántico debido a la presencia de la anomalía de la traza . Más precisamente, la falta de rastro del tensor cuántico de tensión-energía es incompatible con el ordenamiento normal necesario para definirlo. Por razones cohomológicas, la traza del tensor tensión-energía, aunque no desaparece, debe ser un elemento central del "álgebra de Witt cuantificada", es decir, debe conmutar con todos sus generadores. Esto implica que el "álgebra de Witt cuantificada" debe ser una extensión central no trivial del álgebra de Witt, que en este caso particular debe ser única hasta el isomorfismo (gracias al usuario 106422 por recordar este punto a continuación), es decir, un álgebra de Virasoro .

Una exposición que me gusta especialmente sobre estos temas es el librito de Martin Schottenloher, "A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory" (2ª edición), Lecture Notes in Physics 759 (Springer--Verlag, 2008 ) .

Editar (15 de junio de 2022): esto llega con más de seis años de retraso, pero solo ahora logré tener tiempo para pensar en los dos puntos (correctos) de Peter Kravchuk en sus comentarios. Pido disculpas a todos.

1. De hecho, la anomalía del rastro solo aparece en el espacio-tiempo curvo. Más precisamente, si su estado de referencia tiene un comportamiento a corta distancia similar al del estado de vacío de Minkowski (en el caso de los campos libres de Lagrangian, esto se reduce a la propiedad de Hadamard para la función de dos puntos en ese estado), el valor esperado de la traza del tensor de tensión-energía de orden normal (en comparación con el estado de referencia antes mencionado, por ejemplo, dividiendo puntos y explotando la expansión del producto del operador) es independiente del estado y proporcional tanto a la carga central como a la curvatura escalar (incluso si, por ejemplo, en el En el caso de campos libres lagrangianos, se acopla conformemente el campo a la curvatura para mantener la simetría conforme del modelo en el nivel clásico). En otras palabras, la anomalía del rastro siempre está ahí; simplemente no lo vemos donde desaparece la curvatura escalar. El papel de este último es introducir una escala en el modelo a través del acoplamiento de la dinámica de campo con la métrica de fondo. Sin embargo, la curvatura no es la única manera de hacer esto; otra es imponer condiciones de contorno a la teoría del campo conforme: entonces también se ve que la energía de Casimir es proporcional a la carga central. Por regla general, la carga central se manifiesta físicamente como una forma en que el modelo de campo conforme reacciona a la introducción de una escala macroscópica externa por medio de una ruptura parcial (anómala, no espontánea) de esa simetría. Se puede encontrar una discusión más detallada sobre esto, por ejemplo, en las páginas 138-146 del libro de P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, El papel de este último es introducir una escala en el modelo a través del acoplamiento de la dinámica de campo con la métrica de fondo. Sin embargo, la curvatura no es la única manera de hacer esto; otra es imponer condiciones de contorno a la teoría del campo conforme: entonces también se ve que la energía de Casimir es proporcional a la carga central. Por regla general, la carga central se manifiesta físicamente como una forma en que el modelo de campo conforme reacciona a la introducción de una escala macroscópica externa por medio de una ruptura parcial (anómala, no espontánea) de esa simetría. Se puede encontrar una discusión más detallada sobre esto, por ejemplo, en las páginas 138-146 del libro de P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, El papel de este último es introducir una escala en el modelo a través del acoplamiento de la dinámica de campo con la métrica de fondo. Sin embargo, la curvatura no es la única manera de hacer esto; otra es imponer condiciones de contorno a la teoría del campo conforme: entonces también se ve que la energía de Casimir es proporcional a la carga central. Por regla general, la carga central se manifiesta físicamente como una forma en que el modelo de campo conforme reacciona a la introducción de una escala macroscópica externa por medio de una ruptura parcial (anómala, no espontánea) de esa simetría. Se puede encontrar una discusión más detallada sobre esto, por ejemplo, en las páginas 138-146 del libro de P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, otra es imponer condiciones de contorno a la teoría del campo conforme: entonces también se ve que la energía de Casimir es proporcional a la carga central. Por regla general, la carga central se manifiesta físicamente como una forma en que el modelo de campo conforme reacciona a la introducción de una escala macroscópica externa por medio de una ruptura parcial (anómala, no espontánea) de esa simetría. Se puede encontrar una discusión más detallada sobre esto, por ejemplo, en las páginas 138-146 del libro de P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal, otra es imponer condiciones de contorno a la teoría del campo conforme: entonces también se ve que la energía de Casimir es proporcional a la carga central. Por regla general, la carga central se manifiesta físicamente como una forma en que el modelo de campo conforme reacciona a la introducción de una escala macroscópica externa por medio de una ruptura parcial (anómala, no espontánea) de esa simetría. Se puede encontrar una discusión más detallada sobre esto, por ejemplo, en las páginas 138-146 del libro de P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Sénéchal,Teoría de campos conformes (Springer-Verlag, 1997).
2. En cuatro dimensiones, el álgebra de Lie conforme es (semi) simple y, por lo tanto, no tiene extensiones centrales no triviales, pero persisten tanto la anomalía de la traza en presencia de curvatura como la energía de Casimir en presencia de condiciones de contorno, entonces, ¿qué cambia? Bueno, recuerde que las transformaciones conformes en cuatro dimensiones (en la firma de Lorentz) son compuestos de transformaciones de Poincaré, transformaciones de escala (rígida) y las llamadas transformaciones conformes especiales, mientras que el grupo de transformaciones conformes en dos dimensiones es mucho más grande que eso (en hecho, infinitas dimensiones!). En la firma euclidiana, (uno de los dos componentes quirales de) el subgrupo conforme generado de la misma manera que en dimensiones superiores consiste en transformaciones de Möbius en el plano complejo y, por lo tanto, es igual al grupo de Lie semisimple$SL(2,\mathbb{R})$. La correspondiente parte "rígida" ( Möbius ) del álgebra de Witt Lie (generada por$l_0$,$l_1$y$l_{-1}$), que genera todas las transformaciones de Möbius, no ve ningún cambio en las relaciones de conmutación entre sus generadores cuando realizamos la extensión central para obtener el álgebra de Virasoro, ya que la parte central de$[l_n,l_m]$entonces viene dada por$\frac{c}{12}(n^3-n)\delta_{m+n,0}$, dónde$c$es la carga central. En otras palabras, la subálgebra de Möbius Lie no "ve"$c$, al igual que en dimensiones superiores. No obstante, la aparición de la curvatura escalar en la fórmula de la anomalía de la traza muestra que esta anomalía realmente sólo afecta a las transformaciones conformes "locales" (es decir, no "rígidas"). En el caso de las condiciones de contorno, afectan al álgebra de campos en sí (p. ej., en el caso de campos libres, la función de Green del conmutador causal debe respetar las condiciones de contorno) y, por tanto, también a la ordenación normal del tensor tensión-energía a través del desplazamiento por elementos centrales de el álgebra de campos. Huelga decir que las transformaciones conformes generalmente globales (resp. "rígidas" = Möbius) (resp. en dos dimensiones) no sobreviven ni a la introducción de la curvatura ni a las condiciones de contorno, por lo que el papel de las transformaciones ("rígidas"