Quiero mostrar que el siguiente polinomio tiene coeficientes enteros.

Question

Quiero mostrar que el siguiente polinomio tiene coeficientes enteros.

raíces
Matemáticas
polinomios
polinomios simétricos

Maulik

Editar: de acuerdo con las sugerencias en los comentarios, esto solo se cumple cuando f (x) es monic.

Dejar $p$ Sea un número primo y $f(x) = \sum_{i=0}^{p} a_{i}x^{i}$ Sea un polinomio mónico con $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{p} \in\mathbb{Z}$ . Dejar $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{p}$ ser sus raíces.

Estoy tratando de mostrar que el polinomio

gramo (X) = \frac{X^{pag} - α_{1}^{pag}}{X - α_{1}} \cdot \frac{X^{pag} - α_{2}^{pag}}{X - α_{2}} \dots \frac{X^{pag} - α_{pag}^{pag}}{X - α_{pag}}

$g(x) = \frac{x^{p} - \alpha_{1}^{p}}{x - \alpha_{1}} \cdot \frac{x^{p} - \alpha_{2}^{p}}{x - \alpha_{2}} \cdots \frac{x^{p} - \alpha_{p}^{p}}{x - \alpha_{p}}$ tiene coeficientes enteros.

Mi intento: logré demostrar que el polinomio

h (X) = (X^{pag} - α_{1}^{pag}) \cdot (X^{pag} - α_{2}^{pag}) \dots (X^{pag} - α_{pag}^{pag})

$h(x) = (x^{p} - \alpha_{1}^{p})\cdot (x^{p} - \alpha_{2}^{p})\cdots (x^{p} - \alpha_{p}^{p})$ es un polinomio con coeficientes enteros. Esto se debe a que el coeficiente de

f (x)

$f(x)$ son valores de polinomio simétrico elemental en

p

$p$ variables, evaluadas en las raíces

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{p}

$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{p}$ y coeficiente de

h (x)

$h(x)$ son valores del mismo polinomio simétrico elemental evaluados en

α_{1}^{p}, \dots, α_{p}^{p}

$\alpha_{1}^{p}, \ldots, \alpha_{p}^{p}$ . Luego usé el Teorema fundamental de los polinomios simétricos.

Mi estrategia fue mostrar que cuando divido $h(x)$ por $(x-\alpha_{1})\cdots (x-\alpha_{p})$ , obtengo un polinomio entero como resultado. Pensé en hacer esto en parte porque podría ayudarme a encontrar los coeficientes de $g(x)$ también. Pero ahora, estoy luchando para mostrar eso.

¿Hay alguna otra estrategia para este problema (preferiblemente que pueda ayudarme a aislar los coeficientes de $g(x)$ )?

achille hui

Necesitas

f (x)

$f(x)$ ser mónico (o satisfacer otras restricciones). De lo contrario, falla en

p

$p$ tan bajo como

2

$2$ (contraejemplo:

f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 2

$f(x) = 2x^2+3x+2$ )

dxiv

...y si

a_{p} = 1

$a_p=1$ la conclusión es cierta independientemente de

p

$p$ ser primo o no.

Respuestas (3)

Quiero mostrar que el siguiente polinomio tiene coeficientes enteros.

Necesitas $f(x)$ ser mónico (o satisfacer otras restricciones). De lo contrario, falla en $p$ tan bajo como $2$ (contraejemplo: $f(x) = 2x^2+3x+2$ )
...y si $a_p=1$ la conclusión es cierta independientemente de $p$ ser primo o no.

David · Answer 1

Para $n\ge3,$ dejar $f(x)\in \mathbb Z[x]$ ser monic de grado $n.$ las raices de $f(x)$ son $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n.$ Dejar

gramo (X) = \frac{X^{norte} - α_{1}^{norte}}{X - α_{1}} \dots \frac{X^{norte} - α_{norte}^{norte}}{X - α_{norte}}

$g(x) = \frac{x^n - \alpha_1^n}{x - \alpha_1} \cdots \frac{x^n - \alpha_n^n}{x - \alpha_n}$

\begin{matrix} (1) & gramo (X) = \prod_{k = 1}^{norte} (X^{norte - 1} + α_{k} X^{norte - 2} + α_{k}^{2} X^{norte - 3} + \dots + α_{k}^{norte - 1}) \end{matrix}

$g(x)=\prod_{k=1}^n (x^{n-1}+\alpha_kx^{n-2}+\alpha_k^2x^{n-3}+\cdots +\alpha_k^{n-1} )\tag1$ Por (1), g(x) no cambia siempre que se permutan las raíces. Así, cada coeficiente de

g (x)

$g(x)$ es una función simétrica de las raíces de

f (x)

$f(x)$ (con coeficientes en

Z

$\mathbb Z$ ). Por el conocido teorema, cada coeficiente de

g (x)

$g(x)$ es por lo tanto un

Z

$\mathbb Z$ -combinación lineal de funciones simétricas elementales de las raíces de

f (x)

$f(x)$ . Como estos últimos son números enteros,

g (x) \in Z [x] .

$g(x)\in\mathbb Z[x].$

dxiv · Answer 2

Si $\,a_p \ne 1$ la proposición no es cierta en general, como se señala en un comentario. De lo contrario si $\,a_p=1\,$ , dejar $\,\displaystyle P_n(z) = \prod_{k=1}^p(z- \alpha_k^n)\,$ , y $\,\displaystyle q(x)=\frac{P_n(x^n)}{P_1(x)}\,$ .

$T_n(x)=P_n(x^n)$ es simétrico en $\,\alpha_k\,$ , por lo que sus coeficientes son funciones simétricas de los coeficientes $\,a_i\,$ y por lo tanto enteros a sí mismos. Además, $\,T_n(\alpha_i)=P_n(\alpha_i^n)=0\,$ , entonces $\,P_1(x) \mid T_n(x)\,$ , y $\,\displaystyle q(x)=\frac{T_n(x)}{P_1(x)}\,$ tiene coeficientes enteros como el cociente de dos polinomios mónicos con coeficientes enteros.

$P_n(z)\,$ puede determinarse explícitamente expandiendo el producto y expresando los coeficientes en términos de los polinomios simétricos elementales en $\,\alpha_k\,$ , o usando polinomios resultantes $\,P_n(z) = \text{res}\left(P_1(x), z-x^n, x\right)\,$ .

La proposición en la pregunta de OP sigue para $\,n=p\,$ , y es cierto si $\,p\,$ es primo o no.

DinosaurioHuevo · Answer 3

Bajo el supuesto de que $f(x)$ es un polinomio mónico, aquí hay un bosquejo de cómo se podría determinar los coeficientes de esta expansión. Debe ser evidente que la expresión cuya expansión se solicita se puede escribir como un polinomio de grado $D=p^2-p$ . Nosotros escribimos

gramo (X; \vec{α}) = PAG (X; α_{1}) . . . PAG (X; α_{pag}) = \sum_{norte = 0}^{D} Γ_{norte} (\vec{α}) X^{norte}

$g(x;\vec{\alpha})=P(x;\alpha_1)...P(x;\alpha_p)=\sum_{n=0}^D\Gamma_n(\vec{\alpha})x^n$

dónde $P(x;r)=\sum_{n=0}^{p-1}r^{p-1-n}x^n$

Es fácil ver por la definición de $g$ que es invariante bajo cualquier permutación $S=\{\sigma{(1)},...,\sigma{(p)}\}$ del conjunto $\{\alpha_1,..., \alpha_p\}$ . Fácilmente concluimos que los coeficientes tienen la misma simetría:

Γ_{norte} (S \vec{α}) = Γ_{norte} (\vec{α})

$\Gamma_n(S\vec{\alpha})=\Gamma_n(\vec{\alpha})$

También se puede demostrar que los coeficientes obedecen a la muy importante relación de escala

Γ_{norte} (m \vec{α}) = m^{D - norte} Γ_{norte} (\vec{α})

$\Gamma_n(\mu \vec{\alpha})=\mu^{D-n}\Gamma_n(\vec{\alpha})$

Ahora, también por la definición de $g$ y el simple conteo de potencias debería poder mostrar que los coeficientes son polinomios en múltiples variables formados solo por potencias positivas de las variables $\alpha_1,...,\alpha_p$ . Esto, junto con la relación de escala y el requisito de simetría, es suficiente para mostrar que los coeficientes deben ser polinomios simétricos de grado total $D-n$ .

Con esto probado, ahora se puede invocar el teorema fundamental de los polinomios simétricos multivariables, que afirma que no importa la forma de un polinomio simétrico en muchas variables, siempre tiene una expresión en términos de polinomios simétricos elementales, y dado que estos se pueden calcular para ser entero valorado por la suposición de que los coeficientes del polinomio con raíces $\alpha_1,...,\alpha_p$ son números enteros. Por lo tanto, concluimos que $\Gamma_n \in \mathbb{Z}$ .

Se necesita un poco más de trabajo para encontrar expresiones explícitas para los coeficientes definidos anteriormente. Definir una base de polinomios simétricos de grado total $N$ como sigue

s_{norte}^{q_{1}, . . ., q_{pag}} (α_{1}, α_{2}, . . . α_{pag}) = \sum_{sim} α_{1}^{q_{1}} . . . α_{pag}^{q_{pag}}, \sum_{i = 1}^{pag} q_{i} = norte

$s_{N}^{q_1,..., q_p}(\alpha_1, \alpha_2,... \alpha_p)=\sum_{\text{sym}}\alpha_1^{q_1}... \alpha_p^{q_p}~~,~~ \sum_{i=1}^p q_i=N$

Supongo que los coeficientes se pueden expresar como una combinación lineal de igual peso de los polinomios en la base definida anteriormente de la siguiente manera:

Γ_{norte} (\vec{α}) = \sum_{r \in R} s_{D - norte}^{r} (\vec{α})

$\Gamma_n(\vec{\alpha})=\sum_{r\in R} s^{r}_{D-n}(\vec{\alpha})$

dónde $r$ es un $p$ -índice en el conjunto definido por

R = {(r_{1}, . . ., r_{pag}) : \sum_{i = 1}^{pag} r_{i} = D - norte, 0 \leq r_{i} \leq pag - 1}

$R=\{(r_1,..., r_p):\sum_{i=1}^p{r_i}=D-n,0\leq r_i\leq p-1 \}$

Estos conjuntos de p-índices se pueden generar en Mathematica evocando la función

r[p_, n_] :=  Select[IntegerPartitions[p^2 - n, {p}] - Table[Table[1, {i, 1, p}], {j, 1, Length[IntegerPartitions[p^2 - n, {p}]]}], Max[#] <= p - 1 &]

Curiosamente, esta base polinomial simétrica también es lo suficientemente buena para resolver el problema más general con

PAG (X; r) = \sum_{norte = 0}^{pag - 1} C_{pag - 1 - norte} X^{norte} r^{pag - 1 - norte}

$P(x;r)=\sum_{n=0}^{p-1}c_{p-1-n} x^n r^{p-1-n}$

que admite una solución que es una generalización simple de la anterior

Γ_{norte} (\vec{α}) = \sum_{r \in R} C_{r_{1}} . . . C_{r_{pag}} s_{D - norte}^{r_{1}, . . ., r_{pag}} (\vec{α})

$\Gamma_n(\vec{\alpha})=\sum_{r\in R} c_{r_1}...c_{r_p}s^{r_1,...,r_p}_{D-n}(\vec{\alpha})$

Tenga en cuenta que los coeficientes seguirán siendo integrales si el $c$ son integrales.

Adoro absolutamente esta respuesta. Esto es tan hermoso. Había descubierto la segunda parte de lo que dices, al menos un poco, aunque también me gusta tu notación. No parece que nada me impida hacer el mismo argumento para cuando el grado de $f(x)$ no es primo, verdad? Además, lamento a todos que no dije eso. $f(x)$ es monic.. Veo claramente que monic-ness de $f(x)$ es un requisito, el cual acepto.
Aprecio mucho el cumplido, gracias :) Como se menciona en otras respuestas, no hay restricción en el grado del polinomio. Parece que este resultado está impulsado puramente por la teoría de los polinomios simétricos.
Además, casi me olvido de mencionarlo en el último comentario: la fórmula general para los coeficientes que había calculado para cuando el grado de $f(x)$ es primo... a veces los sumandos en la fórmula general que has presentado vienen con un signo negativo y a veces con un signo positivo... No he adivinado un patrón en cuanto a cuándo obtenemos $+$ (y $-$ ) signos .. entonces la suma es una suma pero hasta un $\pm$ firmar en cada sumando... Parece depender del grado $p$ de $f(x)$ y luego en los componentes $r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{p}$ de los sumandos, de alguna manera extraña.
Seguramente no puedo ver signos alternos en las fórmulas que presento arriba, por lo que agradecería una aclaración.
La única forma en que pueden aparecer signos alternos es cuando uno intenta expresar los polinomios simétricos definidos anteriormente en términos de polinomios simétricos elementales. Por ejemplo, el primer par de términos para $D>3$ son $\Gamma_D(\vec{a})=1~,~ \Gamma_{D-1}(\vec{a})=e_1(\vec{a}) ~,~ \Gamma_{D-2}(\vec{a})=e_1^2(\vec{a})-e_2(\vec{a}) ...$
Veamos el caso cuando $p = 3$ . Dilo $f(x) = x^{3} + \sum_{i=0}^{2} a_{i}x^{i}$ con. Tendremos que el coeficiente de $x^{2}$ en $g(x) = f(xw) \times f(xw^{2})$ es dado por $a_{0}a_{2}(w + w^{2}) + a_{1}^{2} w^{3} = a_{1}^{2} - a_{0}a_{2}$ . Vi esto como un coeficiente de creación $a_{0}a_{2}$ correspondiente a $0+2 = 2$ y $a_{1}^{2}$ correspondiente a $1+1 = 2$ . Ahora que miro su fórmula, puede ser que no la entendí lo suficientemente bien. Todavía agradecería si explicas tu fórmula para $p=3$ y coeficiente de $x^{2}$ . Si decides no hacerlo, lo entiendo..
Mis expresiones son todas en términos de polinomios simétricos de las raíces , no los coeficientes de su polinomio original $f(x)$ . Disculpas si la notación confundida, pero escribiendo $\alpha$ en lugar de $a$ todo el tiempo ha sido confuso para mi estúpido cerebro :)
ahhh.. Ya veo.. en realidad, debería haberlo adivinado.. Lo siento mucho.. tu fórmula tiene perfecto sentido ahora (módulo algunos otros malentendidos de mi parte).

Quiero mostrar que el siguiente polinomio tiene coeficientes enteros.

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f(x)f(x)f(x) y g(x)g(x)g(x) son polinomios cúbicos mónicos, con f(x)−g(x)=rf(x)−g(x) =rf(x)-g(x)=r. Si fff tiene raíces r+1r+1r+1 y r+7r+7r+7, y ggg tiene raíces r+3r+3r+3 y r+9r+9r+9, entonces encuentre rrr.

Todas las raíces de un polinomio específico se encuentran dentro del disco unitario.

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