Todas las raíces de un polinomio específico se encuentran dentro del disco unitario.

Question

Todas las raíces de un polinomio específico se encuentran dentro del disco unitario.

raíces
Matemáticas
polinomios
raíces-de-la-unidad
análisis complejo

carl claman

Actualmente estoy trabajando en el siguiente problema:

Dejar $m,n \in \mathbb{N}$ y $p: \mathbb{C} \to \mathbb{C},~ z \mapsto z^{m+1}-z^m+(\frac{1}{4n})^m$ . Demuestra que si $p(z)=0$ entonces $|z|<1$ , es decir, que todas las raíces del polinomio $p$ se encuentran dentro del disco unitario abierto.

Primero abordé el problema tratando de usar los resultados de un análisis complejo:

El teorema de Gershgorin produce un límite superior en el valor absoluto de las raíces, que es estrictamente mayor que 1
El teorema de Rouché no parece ser aplicable aquí de manera adecuada, ya que la suma de dos coeficientes cualesquiera es mayor que el coeficiente restante.

A continuación, traté de argumentar por contradicción: suponga que existe un $z\in \mathbb{C}$ con $|z|\geq 1$ tal que $p(z)=0$ , entonces $z^{m+1}-z^m+(\frac{1}{4n})^m = 0$ o equivalente $z^m(z-1) = -(\frac{1}{4n})^m$ . Entonces para el valor absoluto tenemos

\begin{aligned} | z^{metro} (z - 1) | & = (\frac{1}{4 norte})^{metro} \\ | z^{metro} | | (z - 1) | & = (\frac{1}{4 norte})^{metro} \\ | z - 1 | & = (\frac{1}{4 norte | z |})^{metro} \leq (\frac{1}{4 norte})^{metro} \end{aligned}

$\begin{aligned} |z^m(z-1)| & = (\frac{1}{4n})^m \\ |z^m||(z-1)| & = (\frac{1}{4n})^m \\ |z-1| & = (\frac{1}{4n|z|})^m \leq (\frac{1}{4n})^m \end{aligned}$ Así, se sostiene

z \in B_{\leq (\frac{1}{4 n})^{m}} (1)

$z \in B_{\leq (\frac{1}{4n})^m}(1)$ y

z \notin B_{\leq 1} (0)

$z \notin B_{\leq 1}(0)$ . el polinomio

ζ^{m} (ζ - 1)

$\zeta^m(\zeta-1)$ tiene una sola raíz real en 1, por lo que creo que debería ser posible demostrar que la raíz

z

$z$ de

p

$p$ cerca de 1 también es real. Esto produciría una contradicción porque entonces existe una

ε > 0

$\varepsilon > 0$ tal que

z = 1 + ε

$z = 1+ \varepsilon$ , pero entonces tendríamos

(1 + ε)^{m} (1 + ε - 1) = (1 + ε)^{m} ε \overset{!}{=} - (\frac{1}{4 n})^{m}

$(1+\varepsilon)^m(1+\varepsilon-1) = (1+\varepsilon)^m \varepsilon \overset{!}{=} -(\frac{1}{4n})^m$ .

No fui capaz de demostrar que la raíz es real, mi única idea es argumentar sobre el complejo argumento de $z^m(z-1)$ , que sería 0 porque $-(\frac{1}{4n})^m$ es real.

¡Cualquier idea es muy apreciada!

Respuestas (2)

Todas las raíces de un polinomio específico se encuentran dentro del disco unitario.

Martín R. · Answer 1

Si $m=1$ entonces las raíces se pueden calcular explícitamente como $\frac 12 \pm \frac 12 \sqrt{1-\frac 1n}$ , por lo tanto asumiré $m\ge 2$ en el siguiente.

Observación: El siguiente enfoque está motivado por experimentos con Wolfram Alpha que muestran que para grandes $m$ , $p$ tiene un cero real muy cercano a (pero menor que) uno, y los ceros restantes son aproximadamente las soluciones de $z^m=a^m$ .

Tenemos $p(z) = z^{m+1}-z^m+a^m$ dónde $a=1/(4n)$ es un número real en el rango $(0, 1/4]$ .

Primero considere el disco $B_{1/2}(0)$ y comparar $p$ con $q(z) = z^m-a^m$ : Para $|z|=1/2$ es

| pag (z) - q (z) | = | z^{metro + 1} | = \frac{1}{2^{metro + 1}} < \frac{1}{2^{metro}} - \frac{1}{4^{metro}} \leq | z |^{metro} - | a |^{metro} \leq | z^{metro} - a^{metro} | = | q (z) |

$|p(z)-q(z)| = |z^{m+1}| = \frac{1}{2^{m+1}} < \frac{1}{2^{m}} - \frac{1}{4^{m}} \le |z|^m - |a|^m \le |z^m-a^m| = |q(z)|$ y el teorema de Rouché muestra que

p

$p$ tiene exactamente

m

$m$ ceros en

B_{1 / 2} (0)

$B_{1/2}(0)$ .

Ahora considere la función real

F (X) = X^{metro + 1} - X^{metro} + a^{metro}

$f(x) = x^{m+1}-x^m + a^m$ y mostrar que

f (1 / 2) < 0 < f (1)

$f(1/2) < 0 < f(1)$ , de modo que

f

$f$ tiene un cero en el intervalo

(1 / 2, 1)

$(1/2, 1)$ . Esa es la raíz restante de

p

$p$ , y también está dentro del disco de la unidad.

¡Gracias! Esto es realmente perspicaz, no pensé en aplicar Rouché para los ceros m 'internos'.

Conrado · Answer 2

Uno puede dar una prueba directa de la siguiente manera; por $w=1/z$ el problema es equivalente a demostrar que $cw^{m+1}-w+1=0$ tiene todas las raíces $|w|>1$ dónde $0 <c \le \frac{1}{4^m}$

Pero ahora asume $|w| \le 1$ es una raíz y observe que entonces $|1-w| \le c$ y si dejamos $w=re^{i\theta}$ tan en particular $|\theta| \le \pi/4$ de lo contrario $\Re (1-w) \ge 1-\sqrt 2/2>1/4$ , entonces uno puede ver fácilmente que $|1-e^{i\theta}| \le |1-w| \le c$

(por ejemplo del triángulo isósceles $OAB, O=0, A=1, B=e^{i\theta}$ dónde $w=C \in |OB|$ , luego en el triangulo $ABC$ tenemos $|AC| \ge |AB|$ ya que los ángulos opuestos satisfacen la misma desigualdad que $AC$ está dentro del ángulo $OAB=OBA=CBA$ )

Pero ahora esto significa $2|\sin \theta/2| \le c$ y usando $|\sin \theta/2| \ge |\theta|/\pi$ uno obtiene $|\theta| \le \pi c /2$ lo que significa $(m+1)|\theta| \le (m+1)c \pi /2$ entonces $|\arg w^{m+1}| \le \frac{(m+1)\pi}{2 \times 4^m}\le \pi/4$ lo que da $\Re cw^{m+1} >0$ entonces $\Re (cw^{m+1}-w+1) \ge \Re cw^{m+1}>0$ ¡Contradicción!

Todas las raíces de un polinomio específico se encuentran dentro del disco unitario.

carl claman

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