la suma del recíproco de los cuadrados de las raíces

X 3 − 6 X 2 + 5 X − 7 = 0
Encontrar 1 r 2 + 1 s 2 + 1 t 2 dónde r , s , t son raíces de la ecuación.

  1. Primero obtuve el recíproco de la ecuación anterior y obtuve − 7 X 3 + 5 X 2 − 6 X + 1 = 0
  2. Usando la identidad/suma de newton, la suma de todas las raíces de esta ecuación es 5 / 7 . La suma de los cuadrados de las ecuaciones se puede encontrar resolviendo − 7 s + 5 ( 5 / 7 ) − 12 = 0 , para s (s es la suma de los cuadrados de las raíces). yo obtengo 59 / − 49

Pregunta: ¿Estoy en lo correcto o mis pasos están equivocados? yo se que si simplificas 1 r 2 + 1 s 2 + 1 t 2 usted obtiene s 2 t 2 + r 2 t 2 + r 2 s 2 r 2 s 2 t 2 pero no sé cómo calcular el numerador de la fracción.

Gracias de antemano.

Respuestas (4)

Pista:

1 r 2 + 1 s 2 + 1 t 2 = r 2 s 2 + s 2 t 2 + t 2 r 2 r 2 s 2 t 2 ( r s + s t + t r ) 2 = r 2 s 2 + s 2 t 2 + t 2 r 2 + 2 r s t ( r + s + t ) .

También,

r + s + t = 6 r s + s t + t r = 5 r s t = 7

muchas gracias :)
De nada !

X 3 − 6 X 2 + 5 X − 7 = 0

Dejar y = 1 X . Entonces

1 y 3 − 6 y 2 + 5 y − 7 = 0 7 y 3 − 5 y 2 + 6 y − 1 = 0.

Entonces, por las fórmulas de Vieta,

1 r 2 + 1 s 2 + 1 t 2 = y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 = ( y 1 + y 2 + y 3 ) 2 − 2 ( y 1 y 2 + y 2 y 3 + y 3 y 1 ) = ( 5 7 ) 2 − 2 ( 6 7 ) = − 59 49 .

También puedes usar este teorema:

Dejar α 1 , α 2 , α 3 ⋅ ⋅ ⋅ α norte ser la raíz de la ecuación polinomial F ( X ) = 0 del grado n. Entonces la función simétrica:

S r = α 1 − r + α 2 − r + ⋅ ⋅ ⋅ + α norte − r

donde r es un entero positivo, es igual al coeficiente de X r − 1 en la expansión de − F ′ ( X ) / F ( X ) en las potencias ascendentes de x, donde F ′ ( X ) es la primera función derivada.

Para su ecuación tenemos:

F ′ ( X ) = 3 X 2 − 12 X + 5

− F ′ ( X ) F ( X ) = − 5 + 12 X − 3 X 2 − 7 + 5 X − 6 X 2 + X 3 = 5 7 − 59 47 X + ⋅ ⋅ ⋅

Puedes encontrar la expansión por división directa de F ′ ( X ) por F ( X ) . Entonces tenemos:

1 r 2 + 1 s 2 + 1 t 2 = − 59 49

¿Cómo se deriva esto? ¿Por qué se toma la derivada? No puedo encontrar ninguna información en línea que describa este método con más detalle.
@ CarP24, este teorema es del libro: 'Álgebra clásica', del Dr. G. Paria. Página 106. ISBN 81-7381-15-1.

Sugerencia: otra forma más es transformar el polinomio recíproco pag ( X ) que tienes en (1) a un polinomio q ( X ) cuyas raíces son cuadrados de raíces de pag ( X ) . Para esto, q ( X 2 ) = pag ( X ) pag ( − X ) hace el trabajo (y solo necesita los dos primeros coeficientes para la suma buscada).

la suma del recíproco de los cuadrados de las raíces
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