¿Cuándo los límites de las raíces de un polinomio son idénticos a las raíces del límite del polinomio?

Question

¿Cuándo los límites de las raíces de un polinomio son idénticos a las raíces del límite del polinomio?

raíces
limites
Matemáticas
polinomios

tom m

tengo un polinomio univariante de grado $n$ (dónde $n$ Es mas grande que $4$ ). Los coeficientes de valor real del polinomio dependen de un parámetro $\psi$ , es decir

{pag}_{ψ} (X) = a_{norte} (ψ) X^{norte} + a_{norte - 1} (ψ) X^{norte - 1} + \dots + a_{1} (ψ) X + a_{0} (ψ) .

$p_\psi(x)=a_n(\psi) x^n+a_{n-1}(\psi) x^{n-1}+\ldots+a_1(\psi)x+a_0(\psi).$ Idealmente, me gustaría calcular las raíces de este polinomio,

r_{i} (ψ)

$r_i(\psi)$ ,

i \in {1, \dots, n}

$i\in\{1,\ldots,n\}$ , y tomar el límite de

ψ

$\psi$ a cero

{\hat{r}}_{i} = \underset{ψ \to 0}{límite} r_{i} (ψ)

${\hat r}_i=\lim_{\psi\rightarrow 0} r_i(\psi)$ Sin embargo , como el grado del polinomio es demasiado alto, no puedo obtener una solución en forma cerrada.

Una alternativa factible sería la siguiente: Calcular las raíces $r^\ast_j$ del límite del polinomio

{pag}^{*} (X) = \underset{ψ \to 0}{límite} {pag}_{ψ} (X) .

$p^\ast(x)=\lim_{\psi\rightarrow 0} p_\psi(x).$ En mi caso, los coeficientes son tales que a) el coeficiente principal

a_{n} (ψ)

$a_n(\psi)$ convergerá a cero y b) el polinomio limitante

p^{*} (x)

$p^\ast(x)$ se factorizará en polinomios de bajo orden.

Mi pregunta es : ¿bajo qué condiciones los dos cálculos conducen a la misma respuesta, es decir, ${\hat r}_i=r^\ast_j$ , por las raíces que existen en ambos casos? Cualquier respuesta o referencia sería muy apreciada.

Respuestas (1)

¿Cuándo los límites de las raíces de un polinomio son idénticos a las raíces del límite del polinomio?

Juan Bentín · Answer 1

Suponiendo que existen los límites que usted establece, cada uno de los coeficientes $a_k(\psi)$ es una función continua de $\psi$ cerca $0$ , y entonces las dos formas de obtener las raíces necesariamente darán el mismo resultado.

Editar: como señalan los comentarios, la condición adicional de que el coeficiente principal $a_n(ψ)$ convergerá a cero implica que al menos uno de los "límites" $\lim_{\psi\rightarrow 0} r_i(\psi)$ no existe; por lo que la respuesta anterior no se ocupa del caso en cuestión. Sin embargo, simplemente ignorando los casos en los que $|r_i(\psi)|\to\infty$ , y suponiendo que existan los límites restantes, las raíces restantes serán las mismas en cada enfoque.

Sin embargo, el hecho de que $a_n(\psi)\to 0$ implica que una de las raíces de $a_n(\psi)$ tiende a $\infty$ ("con el fin de" dar cuenta de la menor cantidad de raíces $p^*$ tiene)
Esta respuesta presupone que incluye raíces complejas de $p_\psi$ , incluso si al final solo te interesan las raíces reales. Por ejemplo, deja $p_\psi(x)=-\psi^2 x^4+x^2+\psi^2$ . Esto tiene (de verdad $\psi$ ) dos raíces reales, que van a $\pm\infty$ como $\psi\to0$ , y tiene dos raíces imaginarias que tienden a $0$ como $\psi\to0$ . el limite de $p_\psi(x)$ como $\psi\to0$ es $x^2$ , por lo que su raíz, una raíz doble en $0$ , proviene sólo de las raíces complejas de $p_\psi$ . (El ejemplo también muestra que en el comentario de @HagenvonEitzen "una de las raíces" significa "al menos una de las raíces".)
Muchas gracias por estos excelentes comentarios. Son muy apreciados. ¿Alguien tiene una prueba o referencia para estos resultados?
@TomM.: Se puede encontrar una prueba en la respuesta a esta pregunta

¿Cuándo los límites de las raíces de un polinomio son idénticos a las raíces del límite del polinomio?

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