Aquí hay una pregunta básica sobre el conjunto potencia de los números naturales. Está relacionado con el objetivo de comprender las sucesiones convergentes en un espacio topológico general.
Suponer es una colección de subconjuntos de de modo que todo lo siguiente se cumple:
Si y , entonces (es decir está cerrado tomando subconjuntos)
Si y entonces (es decir es cerrado tomando uniones finitas)
Si es finito, entonces ( es decir contiene todos los conjuntos finitos de números).
La pregunta: Supongamos tal que para cada subconjunto infinito , existe un subconjunto infinito tal que . Debe ?
Detalles motivacionales: la conexión con la topología surge del hecho de que permutando los términos de una secuencia en un espacio como ningún efecto sobre si la secuencia converge o no a .
Suponer es un conjunto numerable infinito con , y es una colección arbitraria de funciones de a .
A continuación imponemos la mejor topología para que cada se extiende continuamente a una función continua definida sobre la compactación de un punto de ,con .
Las condiciones anteriores 1, 2, 3 se traducen vagamente en los hechos de que, las subsecuencias de una secuencia convergente convergen, podemos intercalar dos secuencias que convergen en , y que agregar un número finito de términos a una secuencia convergente no tiene efecto en su convergencia.
La pregunta anterior se traduce en que, en un espacio , si cada subsecuencia de una secuencia tiene una subsecuencia que converge a , entonces la sucesión misma converge a .
Si llamamos a esta última condición 4), entonces el análogo secuencial de la pregunta teórica de conjuntos original es si las contrapartes secuenciales de las condiciones 1), 2) y 3) son adecuadas para asegurar la condición 4).
Parece que el ideal sumable es un contraejemplo, que arroja una respuesta no.
es el conjunto de subconjuntos de números naturales, de modo que la suma de los recíprocos converge (ignorando el recíproco de cero).
Los números naturales tienen la propiedad de que todo subconjunto infinito contiene un conjunto infinito en , pero los números naturales no están en .
Aquí hay una perspectiva más sofisticada sobre su pregunta. Usted está preguntando acerca de los ideales en que contienen el ideal de conjuntos finitos, o ideales equivalentes en el álgebra del cociente . Un ideal en un álgebra booleana se puede identificar con un conjunto abierto en su espacio Stone: cada elemento del álgebra booleana corresponde a un conjunto abierto y luego el ideal corresponde al conjunto abierto que es la unión de todos los conjuntos abiertos correspondientes a su elementos, ya la inversa un conjunto abierto corresponde al ideal de conjuntos cerrados que contiene. Concretamente, el espacio de Piedra de es el espacio de ultrafiltros no principales en , con la topología generada por los conjuntos para cada . Un ideal entonces corresponde al conjunto abierto , es decir, el conjunto de ultrafiltros que contienen algún elemento de .
Ahora, ¿qué significa si cada subconjunto infinito tiene un subconjunto infinito eso esta en ? Bueno, eso solo significa que cada subconjunto abierto básico no vacío de (es decir, conjunto de la forma para ) tiene intersección no vacía con (es decir, contiene uno de los conjuntos abiertos básicos no vacíos que está contenido en ). En otras palabras, solo significa que es denso en , o equivalentemente que está contenida en el interior del cierre de . Así que exigir que tal siempre está realmente en (es decir, que tal siempre está realmente contenido en ) solo significa que estás exigiendo que es el interior de su cierre, es decir, es un conjunto abierto regular.
Entonces, cualquier subconjunto abierto no regular de es un contraejemplo. Por ejemplo, el complemento de un solo punto no es regular ya que no tiene puntos aislados. En términos de ideales, esto sería cualquier ideal maximal no principal en (el ideal máximo que es dual al ultrafiltro que es el único punto que omite su conjunto abierto).
Roberto orilla
pablo fabel