Homeomorfismo vía mapa entre topologías

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Teorema. Dejar ( X , τ X ) y ( Y , τ Y ) ser dos espacios topológicos y F : ( X , τ X ) → ( Y , τ Y ) Sea un homeomorfismo entre ellos. Entonces existe una biyección φ : τ X → τ Y .

Bosquejo de la prueba. Definir φ : τ X → τ Y por φ ( tu ) = F ( tu ) . Entonces el mapa está bien definido porque F ( tu ) ∈ τ Y para todos tu ∈ τ X . Para mostrar que φ es inyectiva observar que para todo tu , V ∈ τ X ,

(1) φ ( tu ) = φ ( V ) ⟹ F ( tu ) = F ( V )
Si es posible, deja tu ⊈ V o V ⊈ tu . Sin pérdida de generalidad supongamos que tu ⊈ V . Entonces existe X ∈ tu tal que X ∉ V . Entonces F ( X ) ∈ F ( tu ) y F ( X ) ∉ F ( V ) (desde F es inyectiva). Como consecuencia F ( tu ) ≠ F ( V ) contrariamente a ( 1 ) . Del mismo modo podemos probar que es imposible tener V ⊈ tu . Como consecuencia tu = V .

Para probar la sobreyectividad de φ , dejar V ∈ τ Y . Luego observa que desde F es continuo F − 1 ( V ) ∈ τ X y desde F es sobreyectiva tenemos,

φ ( F − 1 ( V ) ) = F ( F − 1 ( V ) ) = V
Como consecuencia φ es biyectiva.

Preguntas

  1. ¿Es cierto el inverso del teorema anterior? Más específicamente, si existen biyecciones entre τ X , τ Y y X , Y respectivamente entonces son ( X , τ X ) y ( Y , τ Y ) ¿homeomorfo?

  2. Dejar ϕ : τ X → τ Y ser cualquier función. Entonces hace ϕ siempre "induce" un mapa abierto desde ( X , τ X ) a ( Y , τ Y ) ?

  3. Dejar ϕ : τ Y → τ X ser cualquier función. Entonces hace ϕ siempre "induce" una función continua de ( X , τ X ) a ( Y , τ Y ) ?

mi conjetura

Creo que la respuesta a mi primera pregunta es probablemente afirmativa. Sin embargo, no pude construir tal mapa hasta ahora. De los otros dos no tengo ni idea. ¿Alguien puede ayudar (especialmente con respecto a la primera pregunta al construir explícitamente dicho mapa)?

Si hay una biyección F : X → Y y una biyeccion gramo : τ X → τ Y , todo lo que tenemos es eso X , Y tener el mismo cardenal y que τ X , τ Y tener el mismo cardenal. Con X = Y = norte , hay, por ejemplo, muchas topologías contables no homeomorfas en X .

Respuestas (1)

los conjuntos τ X y τ Y tienen más estructura en ellos que solo conjuntos desnudos: son conjuntos parcialmente ordenados, donde el ordenamiento parcial en τ X es la relación de inclusión en subconjuntos de X , y de manera similar para τ Y . la biyección ϕ : τ X → τ Y que es inducida por un homeomorfismo F : ( X , τ X ) → ( Y , τ Y ) conserva ese ordenamiento parcial.

Así que la respuesta a todas tus preguntas es no. Asumiendo X y Y no están vacíos, y usando eso τ X y τ Y tienen la misma cardinalidad (lo que está implícito en su declaración de que existe alguna biyección entre ellos), es fácil definir una biyección ϕ : τ X → τ Y que no preservan la inclusión. Simplemente defina ϕ ( ∅ ) = Y y ϕ ( X ) = ∅ , y extender esto arbitrariamente a una biyección. Lo mismo ϕ da una respuesta "no" a todas sus preguntas.

No entiendo tu segundo párrafo. Mi primera pregunta dice que si hay una biyección Φ : τ X → τ Y y una biyeccion Ψ : X → Y entonces es siempre cierto que existe un homeomorfismo entre ( X , τ X ) y ( Y , τ Y ) ? ¿Por qué necesito construir otro ϕ ?
Lo mismo vale para las otras preguntas. Se nos da ϕ y usando eso necesitamos construir (si podemos) una función continua o un mapa abierto. ¿Puede explicar con más detalle cómo la respuesta a todas mis preguntas es "no"?
te di un ϕ . usando eso ϕ , es imposible construir la función continua con las propiedades que pides. La razón por la que es imposible es porque no existe una función. F : X → Y tal que F ( X ) = ∅ y F ( ∅ ) = Y .
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