La intersección de las relaciones de equivalencia que cubren una relación

Ejercicio A.3 de John Lee (variedades topológicas)

Dejar$R \subset X \times X$ser cualquier relación en$X$, y define ~ como la intersección de todas las relaciones de equivalencia en$X \times X$que contienen$R$.

(a) Demuestre que ~ es una relación de equivalencia. (b) Demuestre que$x$~$y$si y solo si al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:$x=y$, o$x R' y$o hay una secuencia finita de elementos$z_1,z_2,\cdots,z_n \in X$tal que$x R' z_1 R' \cdots R' z_n R' y$, dónde$x R' y$medio$x R y$o$y R x$

Probé la mayor parte del problema, pero estaba atascado en una dirección (la tercera parte de$\rightarrow$). ¿Hay alguna buena manera de probar que si$(x,y) \not\in R'$ $\&$ $(x,y) \in$~ entonces$\exists z_1, z_2, \cdots z_n$tal que$x R' z_1 R' \cdots R' z_n R' y$? No sé cómo mostrar que después de pasos finitos, podemos 'enlazar'$x$a$y$.