¿Qué tiene de especial AdS?

Voy a proporcionar una posible respuesta controvertida, en un intento de provocar un debate. Hago esto de buena fe, y en la creencia de que lo que afirmo es verdadero, y lo devuelvo con referencias (los comentarios de "cita requerida" serán muy útiles). Contexto esto con: soy un teórico de la materia condensada, y creo que la exposición habitual de AdS/CFT tiene el carro delante del caballo. Tomaré un largo desvío, pero espero volver al final y responder la pregunta real.

Comencemos con una cadena de giro 1/2 en una red 1D, infinita en extensión. El espacio de Hilbert es un producto de espacios bidimensionales. Sea el hamiltoniano Ising antiferromagnético con un campo magnético externo, de modo que a una intensidad de campo crítica obtendremos una transición de fase cuántica de antiferromagnético a ferromagnético. Nos ocupamos únicamente del estado fundamental (es decir, a temperatura cero). Entonces hagamos un par de observaciones: lejos de la transición de fase, la longitud de correlación es finita y la entropía de entrelazamiento de cualquier bloque dado de longitud$L$es asintóticamente una constante (como$L \rightarrow \infty$); en la transición de fase, la longitud de correlación es infinita y la entropía de entrelazamiento es como$\log(L)$. Tenga en cuenta que estas son características bastante especiales del estado fundamental, ya que el estado típico (definido como promedio sobre la medida canónica de Haar) tiene una entropía de entrelazamiento que escala como$L$.

Por lo tanto, en lugar de escribir el estado fundamental con total generalidad

$$\left| \Omega \right\rangle = \sum_{s_1,s_2,\ldots} c_{s_1,s_2,\ldots} \left|s_1\right\rangle\otimes\left|s_2\right\rangle\otimes\ldots$$ donde tendríamos que especificar la matriz $c$con un número exponencialmente grande de dimensiones (que abarcan todo el espacio de Hilbert), vamos a restringir nuestra atención a los llamados Matrix Product States (MPS) con la forma: $$\left|\Omega\right\rangle = \sum_{s_1,s_2,\ldots} \mathrm{Tr}\left(\hat A^{s_1} \hat A^{s_2} \ldots \right) \left|s_1\right\rangle\otimes\left|s_2\right\rangle\otimes\ldots$$ donde las matrices $\hat A^{s_i}$son matrices arbitrarias de dimensión $m$. Esencialmente, estamos mirando en la esquina del espacio de Hilbert que está atravesado por un número de dimensiones que aumenta linealmente . No fue $m \rightarrow \infty$recuperamos el espacio de Hilbert completo, pero lejos del punto crítico, un espacio finito $m$es suficiente para describir completamente (exactamente) el estado fundamental, debido al punto anterior sobre la entropía de entrelazamiento finito; esencialmente, la dimensión $m$controla cuánto enredo es posible entre sitios adyacentes, y el MPS ansatz abarca completamente todos esos estados.

Pero, como se mencionó, el enredo en un estado crítico no está acotado. En este caso, podemos usar un ansatz diferente, el Ansatz de renormalización de entrelazamiento multiescala (MERA). La construcción es difícil de describir con palabras, pero más fácil en imágenes. Si usamos diagramas de red de tensores (identificados por primera vez por Penrose y llamados redes de espín), representamos cada tensor como una gota con un número de patas igual a su rango. Tratamiento de las matrices$\hat A^{s_i}$como tensores de 3 rangos (uno extra debido al índice de espín), podemos dibujar el MPS como:

donde la parte inferior de las piernas son los índices de giro. El MERA es entonces

(pero imagina que el "árbol" continúa hacia arriba sin fin). La esencia es que cosificamos el granulado grueso (es decir, la renormalización) en la descripción del estado fundamental mediante un árbol de desenredadores y granulado grueso. Nuevamente, si hacemos esto bien, esto puede describir el estado fundamental con perfecta precisión.

Estos diagramas de red de tensores también dan una razón pintoresca de por qué la entropía de entrelazamiento escala como una constante y como$\log(L)$respectivamente. El argumento es que el entrelazamiento se localiza en el límite de un bloque (como debe ser, ya que cada conexión en esa red solo puede soportar una cantidad finita de entrelazamiento), pero el "límite" en realidad se escala de manera diferente en los dos casos: el el caso no crítico, son solo los bordes de una cadena 1D, a los que claramente no les importa el volumen; en el caso crítico, debe incluir no solo la capa inferior, sino todas las capas superiores, y hay$\log(L)$capas.

Hasta ahora, todo es básicamente (hasta los casos de esquina) cierto. Pasemos ahora a cosas más conjeturales/interpretativas. Centrarse en MERA. Note que si lo tratamos como un espacio, entonces una medida de distancia natural es el número de "saltos" que necesitamos hacer de un vértice a otro; nótese también que en el límite del continuo se trata de un espacio hiperbólico homogéneo, es decir, AdS. En el modelo de Ising original, en el punto crítico, la teoría del campo debería ser conformemente invariante y, por lo tanto, ser una CFT. Esto es todo menos AdS/CFT, excepto que no hemos especificado que los coeficientes MERA se calculan mediante una teoría gravitacional cuántica (probablemente no pueda ser, creo... la carga central es 1, y nada es supersimétrico).

Ahora, en este punto, podrías pensar "¡Ajá! ¿Ves? AdS/CFT es de primordial importancia incluso para cosas mundanas como la materia condensada". Sin embargo, me gustaría presentar algunas pruebas de que, en realidad, AdS/CFT es una consecuencia mundana de una idea muy inteligente, que consiste en interpretar geométricamente la información en un estado fundamental.

Consideremos en cambio un sistema de fermiones que interactúan en 1D. Los electrones habituales con repulsión de Coulomb servirán. Se sabe que el estado fundamental físico es el de solitones de electrones fraccionados que no interactúan: holones (que llevan la carga) y espinones (que llevan el espín). Nuestro ansatz entonces será el de MERA, pero a cierta profundidad en el árbol, duplicamos todo lo que está arriba --- de modo que terminamos con dos sistemas 1D, uno para holones y otro para espinones. En la figura geométrica de arriba, será como si pegáramos un espacio adicional de AdS al espacio habitual, de modo que obtenemos un tenedor.

La razón por la que esto sugiere que en realidad el estado fundamental debería ser lo primero y el principio de holografía lo segundo es doble:

1. La holografía solo es válida para estados especiales como el estado fundamental, donde la entropía de entrelazamiento escala por debajo del volumen.
2. Es posible que el espacio interno de AdS no sea AdS, o que incluso admita algún tipo de imagen geométrica agradable, e incluso si lo hace, es posible que no lo proporcione algún tipo de teoría de campo basada en Lagrange.

Volvamos a la pregunta: "¿Qué tiene de especial AdS?" Sin duda, otras respuestas se centrarán en la geometría especial que hace que las matemáticas funcionen, pero yo respondería que la clave nunca es el espacio interior, sino el límite: el (super-)CFT. El espacio interior, en este caso, AdS, simplemente viene a dar un paseo. Si tuviéramos algún otro tipo de teoría de límites, tendríamos algún otro tipo de espacio interior, ¡o no tendríamos espacio en absoluto!

Referencias:

Documento seminal (?) sobre la correspondencia entre MERA y la holografía: http://arxiv.org/abs/0905.1317 Ramificación de MERA como holografía exótica: http://pirsa.org/10110076

anuncios$_d$en cualquier dimensión espacio-temporal$d\geq 2$es máximamente simétrica con el grupo de isometría so(d-1,2) (para la firma de Minkowski).

Este grupo coincide con el grupo conforme en las dimensiones d-1 (nuevamente para la firma de Minkowski).

Por ejemplo, para AdS$_5$obtienes el grupo de isometría so(4,2), que es el grupo conforme en 4 dimensiones. Esta coincidencia es una verificación de consistencia ligeramente trivial que algo como un AdS$_5$/CFT$_4$la correspondencia puede funcionar.

Otra característica especial de AdS en comparación con dS es que proporciona un vacío estable en la mayoría de las teorías (mientras que dS es solo metaestable) y que es compatible con SUSY (mientras que dS no lo es).

Los espacios que asíntotan a AdS también tienen propiedades muy especiales. Brown y Henneaux demostraron en d=3 que cualquier teoría cuántica consistente de la gravedad debe ser dual, hacer una teoría de campo conforme bidimensional, en el sentido de que el espacio de Hilbert debe caer en representaciones irreducibles de dos copias del álgebra de Virasoro, con carga central determinada por la constante de Newton y la constante cosmológica. Este fue un precursor importante de la correspondencia AdS/CFT, donde dicha dualidad se realiza explícitamente (pero en dimensiones más altas).

El espacio de Minkowski también es máximamente simétrico y estable, pero no tan susceptible a la holografía como AdS.

En resumen, los espacios AdS son simples y tienen propiedades físicas interesantes, por lo que se utilizan con bastante frecuencia.

El espacio AdS es básicamente un espacio hiperbólico, con una dirección temporal. Aquí hay un buen hecho geométrico. Considere el espacio hiperbólico 2d en el modelo de disco de Poincaré. (La generalización a dimensiones más altas es sencilla). La métrica es$ds^2 = \frac{dr^2 + r^2 d\theta^2}{(1-r^2)^2}$. El elemento de área correspondiente es$\frac{rdrd\theta}{(1-r^2)^2}$. Así que considere el círculo en fijo$r = r_0$. esto tiene circunferencia$2\pi r_0\frac{1}{1-r_0^2}$y área$2\pi \int_0^{r_0} \frac{rdr}{(1-r^2)^2}$. Para$r_0 = 1 - \epsilon$, con$\epsilon \ll 1$, estos son$\frac{\pi}{\epsilon} - \frac{\pi}{2} + {\cal O}(\epsilon)$y$\frac{\pi}{2\epsilon} - \frac{\pi}{2} + {\cal O}(\epsilon)$, respectivamente.

¿Qué significa esto? Significa que, para círculos grandes en comparación con el radio de curvatura del espacio, el perímetro y el área se escalan de la misma manera que haces el círculo más grande. (A diferencia del espacio plano, donde uno escala como el cuadrado del otro). Creo que esto es una pista sobre la holografía; en cierto sentido, AdS es el espacio en el que la holografía se vuelve casi trivial, porque$d$y$d-1$los volúmenes dimensionales son casi idénticos, por lo que entendemos mucho mejor la holografía en AdS.

(Por supuesto, esto no es ajeno a las ideas sobre la simetría conforme, etc. Pero creo que este hecho geométrico arroja algo de luz y es fácil de entender sin entrar en detalles de la física).

Hay algunas extensiones de la correspondencia AdS/CFT, por lo que es más exacto llamar al conjunto más general de dualidades correspondencia de calibre/gravedad. En todas esas dualidades, uno tiene un dual de gravedad de alguna teoría cuántica de campos, y la teoría en cuestión determina las condiciones de contorno en todos los campos generales (incluidas las asintóticas de la geometría general). Los estados de esas teorías corresponden a pequeñas fluctuaciones (modos normalizables) que se mueven en la mayor parte de ese espacio-tiempo, y el estado de vacío generalmente corresponde al espacio máximamente simétrico ("vacío"). Hay muchos ejemplos de este tipo que no son AdS ni siquiera asintóticamente, aunque lamentablemente dS asintóticamente no es todavía uno de ellos (en parte porque no está claro qué significa realmente la expresión "asintóticamente dS"). Ejemplos asintóticamente planos,

Pero, dentro del conjunto de todas las dualidades holográficas, hay algo especial en los espacios que son asintóticamente AdS. Esos corresponden a teorías que se vuelven conformes a distancias cortas. Usando el lenguaje wilsoniano, esas son teorías cuyo flujo de grupo de renormalización puede continuar a todas las escalas de energía, por lo que son teorías cuánticas de campo completamente bien definidas sin corte. Tales teorías de campo se definen como deformaciones relevantes de puntos fijos en la UV, y la traducción holográfica de esa afirmación es que la gravedad dual es asintóticamente AdS.

Continuando con el lenguaje wilsoniano, generalmente se necesita usar QFT solo como una teoría de campo efectiva, y luego se define inherentemente con un límite UV. Esta teoría cuántica de campos más general (definida solo hasta cierta escala de energía) corresponde a instancias de dualidad de calibre-gravedad que no son asintóticamente AdS. La correspondencia entre EFT con un espacio de corte y AdS no asintóticamente (al menos en algunas ocasiones denominada "correspondencia no AdS/no CFT") se entiende menos que AdS/CFT (con la cantidad de trabajo en AdS /CFT, esto se aplica a muchos otros temas...). Pero es un tema muy útil e interesante, en cierto modo más que la correspondencia original de AdS/CFT, la que abrió las compuertas.

En cualquier caso, el tipo de condiciones de contorno impuestas al espacio sólo es restrictivo cuando se trata de cuestiones globales. Cualquier proceso local que le interese (por ejemplo, la formación y evaporación de agujeros negros) puede integrarse en un espacio AdS asintóticamente con una constante cosmológica arbitrariamente pequeña. En ese caso, no pensaría en el conjunto de ejemplos proporcionados por AdS/CFT como "no físicos" de ninguna manera; es posible que no aborde todas las posibles preguntas que le pueden interesar a uno, pero es la mejor manera de abordar un montón de fascinantes unos.

los$AdS$en forma euclidiana es a es un espacio hiperbólico. En un plano hiperbólico de dos dimensiones${\cal H}^2$es una variedad simplemente conexa con curvatura gaussiana constante$-1$. el bidimensional$AdS_2$se mantiene cerca del horizonte de eventos de un agujero negro, que es el disco de Poincaré${\cal D}^2~=~\{z:|z|~<~z_0\}$, y relacionado con el espacio-tiempo de Rindler, el semiplano superior${\cal H}^2~=~\{z:Im(z)~>~0\}$. El grupo de isometrías$Iso({\cal H}^2)$es el conjunto de transformaciones suaves$z^\prime~=~gz$que satisfacen la métrica hiperboloide para$s~=~s(z,~gz)$. El semiplano y el disco de Poincar{\'e} están relacionados por una transformación conforme, por lo que la transformación de coordenadas viene dada por el mismo grupo. En el semiplano las isometrías son las transformaciones lineales fraccionarias, o grupo modular

$$g:{\cal H}~\rightarrow~{\cal H},~z:~\mapsto~gz:~=~{{az~+~b}\over{cz~+~d}},~\left(\matrix{a & b\cr c & d}\right)~\in~SL(2,~{\bf R}).$$ las matrices $g$y $-g$son las mismas transformaciones lineales fraccionarias, por lo que las isometrías $Iso({\cal H}^2)$puede identificarse con el grupo proyectivo de Klein $PSL(2,~{\mathbb R})~=$ $SL(2,~{\mathbb R})/\{\pm 1\}$. El grupo está restringido aún más por el subgrupo de isotropía que deja elementos de ${\cal H}^2$sin alterar $z~=~gz$. Cualquiera de esos $g~\in~PSL(2,~{\mathbb R})$define el $SO(2)$grupo de rotación. Después ${\cal H}^2~=~PSL(2,~{\mathbb R})/SO(2)$.

La estructura discreta, o$PSL(2,{\mathbb Z})$se manifiesta en la simetría de teselación del semiplano o disco hiperbólico. Estas simetrías se ven en las impresiones de Escher llamadas círculos límite. Estas estructuras discretas dan la estructura MERA a la que hace referencia Genneth. El "amontonamiento" de la estructura hacia el límite es una renormalización del sistema de giros de Ising, para los giros en los vértices de la teselación. Lo que sigue es en parte un breve resumen de la clase discreta$AdS$finalización debido a Charles Frances.

http://www.math.u-psud.fr/~frances/

El espacio límite$\partial AdS_{n+1}$es un espaciotiempo de Minkowski, o un espaciotiempo$E_n$que simplemente está conectado con el$AdS$es tal que$AdS_{n+1}\cup E_n$es la terminación conforme de$AdS_{n+1}$bajo la acción discreta de un grupo kleiniano. Para el grupo lorentziano$SO(2,~n)$existe el grupo discreto$SO(2,n,Z)$que es un grupo de Moebius. Para un subgrupo discreto$\Gamma$subconjunto$SO(2,~n,~Z)$que obedece a ciertas propiedades regulares para puntos de acumulación en el conjunto discreto$AdS_{n+1}/\Gamma$es una acción conforme de$\Gamma$en la esfera$S_n$. Este es entonces un mapa que construye un$AdS/CFT$correspondencia. Dado que$AdS_n~=~O(n,2)/O(n,1)$esta estructura de clases laterales es una forma de Clifford-Klein, o estructura de clases laterales dobles.

Las geodésicas similares a la luz en$E^n~=~M^n$, el espacio-tiempo de Minkowski, son copias de$RP^1$, que en un punto p dado definen un conjunto que es el cono de luz$C(p)$. El punto p es la acción proyectiva de$\pi(v)$por$v$un vector en un parche local$R^{n,2}$y entonces$C(p)$es entonces$\pi(P\cap C^{n,2})$, por$P$normal a$v$, y$C^{n,2}$la región en$R^{n,2}$donde el intervalo desaparece.

El espacio de las geodésicas similares a la luz es un conjunto de invariantes y luego debido a un estabilizador en$O(n,2)$, por lo que el espacio de curvas similares a la luz$L_n$se identifica con el cociente$O(n,2)/P$, dónde$P$es un subgrupo definido como el cociente entre un subgrupo con topología de Zariski, o un subgrupo de Borel, y el grupo principal$G~=~O(n,~2)$. este cociente$G/P$es una variedad algebraica proyectiva, o variedad bandera y$P$es un subgrupo parabólico. La incorporación natural de un grupo.$H~\rightarrow~G$compuesto con la variedad proyectiva$G~\rightarrow~G/P$es un isomorfismo entre el$H$y$G/P$. Este es entonces un producto semidirecto$G~=~P~\rtimes~ H$. Para el$G$ningún$GL(n)$el grupo parabólico es un subgrupo de matrices triangulares superiores. Este es el grupo de Heisenberg.

Esta conexión con los grupos de Heisenberg y los grupos parabólicos es particularmente interesante. La estructura aquí tiene un$\theta$-realización de funciones, y está relacionado con la densidad de estados en la teoría de cuerdas. En mi opinión, esto conduce a una estructura muy profunda que no está del todo explorada.