¿Por qué AdS/CFT con temperatura distinta de cero corresponde a un agujero negro en el bulto?

Hay algunas respuestas a esta pregunta. El que tenga el sentido más intuitivo probablemente dependa de sus antecedentes.

En primer lugar, a partir del programa de gravedad cuántica euclidiana se sabe que un espaciotiempo estacionario o estático se puede poner a una temperatura finita mediante la continuación analítica del espaciotiempo hasta la firma euclidiana. Luego, la temperatura se identifica como la longitud inversa de la dirección del tiempo rotada, ahora llamada círculo térmico. Este enfoque es familiar del estudio de teorías de campo a temperatura finita y fue desarrollado para el caso de la gravedad por Hawking y otros a finales de los años setenta y principios de los ochenta. Los espaciotiempos sin horizontes de agujeros negros, como el espacio de Minkowski, se pueden poner a cualquier temperatura. Una vez realizada la continuación analítica, se puede compactar el círculo térmico a cualquier radio.

Sin embargo, los agujeros negros solo pueden continuarse analíticamente para tener una longitud específica para el círculo térmico. Esta longitud se elige para evitar un déficit cónico (un tipo de singularidad) en el espacio-tiempo. Por ejemplo, Euclidean Schwarzschild es (con$\tau = i t$)

$ds^2 = \left(1-\frac{r_0}{r}\right) d\tau^2 + \left(1-\frac{r_0}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_2^2.$

Cerca del horizonte, esto parece

$ds^2 \approx \left(\frac{r-r_0}{r_0}\right) d\tau^2 + \frac{r_0}{r-r_0} dr^2 + r_0^2 d\Omega_2^2 \approx \rho^2 \frac{d\tau^2}{4r_0^2} + d\rho^2 + r_0^2 d\Omega_2^2$, después de establecer$r=r_0 + \rho^2/(4r_0^2)$.

para que el$(\tau,\rho)$-parte del espacio para ser espacio localmente plano escrito en coordenadas polares, la periodicidad$\tau \sim \tau + 4\pi r_0$se nos impone. Esta es solo la temperatura inversa de Hawking.

Entonces, si una teoría de campos a temperatura finita va a ser dual con una geometría, puede ser dual con una sin horizonte y otra con horizonte. La cuestión de cuál es el verdadero dual está determinada por la termodinámica. Generalmente, uno necesitaría tomar todas las soluciones y comparar su energía libre. Son posibles transiciones de fase interesantes, por ejemplo, la transición de Hawking-Page ( http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103922135 ). Para el caso de los agujeros negros en el parche de Poincaré de AdS, el punto de partida habitual para AdS/CFT, no existe tal transición y la brana negra siempre se prefiere termodinámicamente sobre AdS térmica.

Una segunda forma de ver que la temperatura finita corresponde a los agujeros negros en masa es recordar la correspondencia entre el agujero negro y la cadena negra ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9612146 ). Incluso antes de AdS/CFT se sabía que había una fuerte conexión entre las soluciones de la brana p de la supergravedad y las branas D de la teoría de cuerdas. Ambas soluciones se pueden calentar. En el régimen de parámetros donde cada solución tiene sentido, las p-branas calentadas (por$p=3$) corresponden a los agujeros negros de AdS del parche de Poincaré (para una temperatura lo suficientemente pequeña). Las D-branas calentadas solo corresponden a SYM a una temperatura finita. Entonces, la extensión de temperatura finita de la dualidad original de Maldacena es bastante obvia desde esta perspectiva.

Por último, el papel de la temperatura y el potencial químico (y cualquier otro potencial termodinámico posible) en el agujero negro simplemente corresponde a los mismos potenciales en la teoría del campo dual. Por ejemplo, la rotación en el agujero negro corresponde a considerar una teoría del campo giratorio ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9908109 ).

La explicación de Surgical Commander, de imponer condiciones límite periódicas en el tiempo euclidiano, es muy buena y, en cierto sentido, la forma más correcta de ver lo que debe obtener. Agregaré aquí otra forma en que puedes pensar en ello, más física y dinámicamente, desde otra perspectiva.

Puede pensar en la temperatura finita como poner su sistema débilmente en contacto con un enorme baño de energía y permitir que se equilibre (débilmente para que no afecte demasiado la física de su sistema, solo permita que intercambie energía lentamente) . También puede permitir que intercambie algo de carga conservada si desea un gran conjunto canónico con potenciales químicos. En AdS/CFT, esto equivale a tener cierto acoplamiento entre las condiciones de contorno de sus campos (operadores AKA CFT) y el baño de calor. Puede pensar en esto como permitir que la energía salga y entre desde el límite.

Comience con anuncios vacíos, con un límite compacto. Si el baño de calor está caliente, la energía comenzará a fluir hacia la masa desde el acoplamiento del límite, y la energía de cualquier campo que tenga comenzará a fluir. En algún momento, con suficiente energía, se volverá lo suficientemente denso en alguna parte para formar un agujero negro. El agujero negro lo irradiará Hawking. Si la radiación de Hawking tiene la misma temperatura que el baño de calor, no habrá ningún intercambio neto de energía con el baño y la radiación de Hawking estará en equilibrio con el agujero negro.

Si la radiación de Hawking es más fría que el baño de calor, todavía habrá cosas que entren en el agujero negro más rápido de lo que irradia, por lo que el agujero negro crecerá. Eventualmente, el agujero negro alcanzará la misma temperatura que el baño y se equilibrará.

Si la radiación de Hawking es más caliente que el baño de calor, se escapará y el agujero negro se encogerá a medida que irradia. Si es lo suficientemente grande, se enfría mientras lo hace, por lo que en algún momento puede equilibrarse con el baño. Si es demasiado pequeño (o el baño está demasiado frío para equilibrarse incluso con el agujero negro más frío posible), tiene una capacidad calorífica negativa, por lo que se calentará más a medida que pierda energía (!) y finalmente se evaporará. El baño podría entonces equilibrarse con solo radiación y sin agujero negro, si está lo suficientemente frío. (La energía de la radiación es cero en el límite clásico, siendo suprimida por alguna potencia de la longitud de Planck sobre la longitud de AdS).

Hay algunas circunstancias en las que un agujero negro puede ser semiclásico dinámicamente estable como este, pero no se favorece termodinámicamente, por lo que se evaporará por eventos de túnel.

Puede agregar un comportamiento más rico agregando un potencial químico como sugiere y permitiendo que la carga entre y salga también. Aún puede intuir la mayoría de las cosas a partir de este tipo de imagen dinámica, agregando física más interesante según sea necesario. Por ejemplo, es posible que un agujero negro deba cargarse para soportar un campo eléctrico, de modo que las cosas cargadas no quieran entrar desde el límite. Pero si este campo tiene que ser demasiado fuerte, en el horizonte podrías tener un par de Schwinger, por lo que el agujero negro comienza a arrojar partículas cargadas, que se quedan en la mayor parte como un "pelo" cargado.