ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta definición para límites que involucran ∞∞\infty

Question

ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta definición para límites que involucran ∞∞\infty

limites
cálculo
infinidad
Matemáticas
epsilon-delta
análisis real

perturbador

Para un límite general el $\epsilon-\delta$ definición de un límite (la definición formal de un límite) establece que

\underset{X \to a}{límite} F (X) = L \Leftrightarrow \forall ϵ > 0 (\exists d > 0 : (0 < | X - a | < d ⟹ | F (X) - L | < ϵ))

$\lim_{x \ \to \ a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \ (\exists \ \delta > 0 \ : \ (0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L| < \epsilon))$

Sin embargo, el $\epsilon -\delta$ la definición de un límite cambia por límites como $x \to +\infty$ y $x \to -\infty$ , y cambia de nuevo para los límites que se evalúan como $+\infty$ y $-\infty$

1. Limitar como $x \to +\infty$

\underset{X \to + \infty}{límite} F (X) = L \Leftrightarrow \forall ϵ > 0 (\exists d : (X > d ⟹ | F (X) - L | \leq ϵ))

$\lim_{x \ \to \ +\infty} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \ \epsilon>0\; (\exists \ \delta : (\;x>\delta\implies |f(x) - L|\leq\epsilon))$

2. Limitar como $x \to -\infty$

\underset{X \to - \infty}{límite} F (X) = L \Leftrightarrow \forall ϵ > 0 (\exists d : (X < d ⟹ | F (X) - L | \leq ϵ))

$\lim_{x \ \to \ -\infty} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \ \epsilon>0\; (\exists \ \delta : (\;x<\delta\implies |f(x) - L|\leq\epsilon))$

3. Limite la evaluación a + $\infty$

\underset{X \to a}{límite} F (X) = + \infty \Leftrightarrow \forall METRO > 0 (\exists d > 0 : (0 < | X - a | < d ⟹ F (X) > METRO)

$\lim_{x \ \to \ a} f(x) = +\infty \Leftrightarrow \forall M > 0 \ (\exists \ \delta > 0 \ : \ (0<|x-a|<\delta \implies f(x) >M)$

4. Limite la evaluación a - $\infty$

\underset{X \to a}{límite} F (X) = - \infty \Leftrightarrow \forall norte < 0 (\exists d > 0 : (0 < | X - a | < d ⟹ F (X) < norte)

$\lim_{x \ \to \ a} f(x) = -\infty \Leftrightarrow \forall N < 0 \ (\exists \ \delta > 0 \ : \ (0<|x-a|<\delta \implies f(x) < N)$

Pero ¿por qué es así? Entiendo que si usas el normal $\epsilon-\delta$ definición de un límite en estos casos, obtienes contradicciones que aparecen como $0 < |x-\infty| < \delta \implies \delta > \infty$ , con el que no se puede hacer nada más.

Si bien algunas de estas diferencias pueden ser sutiles, parece contrario a la intuición cambiar una definición formal y general.

Sé que la idea fundamental detrás de la $\epsilon - \delta$ La definición sigue siendo la misma en todos estos ejemplos (que no importa cuán pequeña queramos hacer nuestra "distancia de error" ( $\epsilon$ ) siempre podemos encontrar una "distancia a nuestro punto límite" ( $\delta$ ) que satisface la definición de un límite), pero para llegar a esa idea fundamental, el $\epsilon - \delta$ la definición debe modificarse sutilmente (y no me refiero a modificaciones en la notación) para cada uno de estos ejemplos.

¿O es sólo un caso que el $\epsilon - \delta$ ¿La definición del límite general que puse al comienzo de esta publicación no es tan general como pensaba?

Además, ¿cómo funciona el $\epsilon - \delta$ definición de un cambio de límite para estos casos (las definiciones formales de estos no parecen estar cubiertas en ningún libro de texto introductorio de Cálculo).

5. Limitar como $x \to +\infty$ $= +\infty$

\underset{X \to + \infty}{límite} F (X) = + \infty \Leftrightarrow ? ? ?

$\lim_{x \ \to \ +\infty} f(x) = +\infty \Leftrightarrow \ ???$

6. Límite como $x \to -\infty$ $= -\infty$

\underset{X \to - \infty}{límite} F (X) = - \infty \Leftrightarrow ? ? ?

$\lim_{x \ \to \ -\infty} f(x) = -\infty \Leftrightarrow \ ???$

7. Límite como $x \to -\infty$ $= +\infty$

\underset{X \to - \infty}{límite} F (X) = + \infty \Leftrightarrow ? ? ?

$\lim_{x \ \to \ -\infty} f(x) = +\infty \Leftrightarrow \ ???$

8. Límite como $x \to +\infty$ $= -\infty$

\underset{X \to + \infty}{límite} F (X) = - \infty \Leftrightarrow ? ? ?

$\lim_{x \ \to \ +\infty} f(x) = -\infty \Leftrightarrow \ ???$

Juan Douma

¿Cómo puedes entrar?

ϵ

$\epsilon$ del infinito?

perturbador

@JohnDouma Veo lo que está diciendo, en ese caso, los últimos 4 casos que describí no son demostrables por el

ϵ - δ

$\epsilon-\delta$ definicion de limite?

Juan Douma

Piensa en lo que dicen las definiciones. Si me acerco a un valor obtengo un valor. Si ese valor es infinito, que no es un valor, tenemos que decir que obtenemos arbitrariamente grande. Usando su número 1 como ejemplo, en lugar de decir si

x

$x$ está dentro

δ

$\delta$ del infinito decimos que si

x > δ

$x>\delta$ entonces

f (x)

$f(x)$ está dentro

ϵ

$\epsilon$ de

L

$L$ .

doug m

El problema es que es difícil definir infinito e infinitesimal. Entonces, presentamos definiciones que evitan estos conceptos problemáticos. infinitesimal se vuelve

< ϵ

$<\epsilon$ e infinito se vuelve > N.

Daniel Schepler

Esto es un poco más avanzado, pero todos estos límites se pueden unificar utilizando la noción de "límite de un filtro". Entonces, para límites finitos, si

F

$\mathscr{F}$ es un filtro en

X

$X$ y

f : X \to Y

$f : X \to Y$ , entonces podemos decir

lim_{F} f (x) = L

$\lim_{\mathscr{F}} f(x) = L$ si el filtro

f_{*} (F)

$f_*(\mathscr{F})$ tiene limite

L

$L$ . Casos especiales: "

x \to x_{0}

$x \to x_0$ "sería el filtro de barrios pinchados en

x_{0}

$x_0$ ;

x \to \infty

$x \to \infty$ sería el filtro generado por

(N, \infty)

$(N, \infty)$ ;

x \to x_{0}^{+}

$x \to x_0^+$ sería el filtro generado por

(x_{0}, x_{0} + ϵ)

$(x_0, x_0 + \epsilon)$ ; etc.

Daniel Schepler

Y para límites infinitos, podríamos decir

f (x) G

$f(x) ~ \mathscr{G}$ como

x F

$x \mathscr{F}$ si

G \subseteq f_{*} F

$\mathscr{G} \subseteq f_* \mathscr{F}$ - o en otras palabras, para cada

S \in G

$S \in \mathscr{G}$ ,

f^{- 1} (S) \in F

$f^{-1}(S) \in \mathscr{F}$ . Así, por ejemplo, decir "

f (x) \to \infty

$f(x) \to \infty$ como

x \to \infty

$x \to \infty$ " se traduciría como: por cada

N

$N$ , existe

M

$M$ tal que cada vez que

x > M

$x > M$ , entonces

f (x) > N

$f(x) > N$ .

Zhanxiong

Es

ϵ

$\epsilon$ -

δ

$\delta$ , no

ϵ - δ

$\epsilon - \delta$ . Es decir, es un guión entre

ϵ

$\epsilon$ y

δ

$\delta$ , en lugar de un signo menos.

Marcas.

Usando una función continua como

f (x) = \frac{x}{1 + | x |}

$f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}$ o

g (x) = \arctan x

$g(x)=\arctan x$ , puedes convertir los reales en un intervalo abierto de longitud finita. Al agregar los puntos finales, obtienes un intervalo cerrado de longitud finita correspondiente a los reales con

\pm \infty

$\pm\infty$ . Entonces puedes usar las definiciones estándar para todo:

lim_{x \to \infty} h (x) = lim_{u \to 1^{-}} h (f^{- 1} (u)) = lim_{u \to (π / 2)^{-}} h (\tan (u))

$\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}h(x)=\displaystyle{\lim_{u\to1^-}}h(f^{-1}(u))=\displaystyle{\lim_{u\to(\pi/2)^-}}h(\tan(u))$ y

lim_{x \to a} h (x) = \infty

$\displaystyle{\lim_{x\to a}}h(x)=\infty$ medio

lim_{x \to a} f (h (x)) = 1

$\displaystyle{\lim_{x\to a}}f(h(x))=1$ .

Respuestas (2)

ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta definición para límites que involucran ∞∞\infty

@JohnDouma Veo lo que está diciendo, en ese caso, los últimos 4 casos que describí no son demostrables por el $\epsilon-\delta$ definicion de limite?
Piensa en lo que dicen las definiciones. Si me acerco a un valor obtengo un valor. Si ese valor es infinito, que no es un valor, tenemos que decir que obtenemos arbitrariamente grande. Usando su número 1 como ejemplo, en lugar de decir si $x$ está dentro $\delta$ del infinito decimos que si $x>\delta$ entonces $f(x)$ está dentro $\epsilon$ de $L$ .
El problema es que es difícil definir infinito e infinitesimal. Entonces, presentamos definiciones que evitan estos conceptos problemáticos. infinitesimal se vuelve $<\epsilon$ e infinito se vuelve > N.
Esto es un poco más avanzado, pero todos estos límites se pueden unificar utilizando la noción de "límite de un filtro". Entonces, para límites finitos, si $\mathscr{F}$ es un filtro en $X$ y $f : X \to Y$ , entonces podemos decir $\lim_{\mathscr{F}} f(x) = L$ si el filtro $f_*(\mathscr{F})$ tiene limite $L$ . Casos especiales: " $x \to x_0$ "sería el filtro de barrios pinchados en $x_0$ ; $x \to \infty$ sería el filtro generado por $(N, \infty)$ ; $x \to x_0^+$ sería el filtro generado por $(x_0, x_0 + \epsilon)$ ; etc.
Y para límites infinitos, podríamos decir $f(x) ~ \mathscr{G}$ como $x \mathscr{F}$ si $\mathscr{G} \subseteq f_* \mathscr{F}$ - o en otras palabras, para cada $S \in \mathscr{G}$ , $f^{-1}(S) \in \mathscr{F}$ . Así, por ejemplo, decir " $f(x) \to \infty$ como $x \to \infty$ " se traduciría como: por cada $N$ , existe $M$ tal que cada vez que $x > M$ , entonces $f(x) > N$ .
Es $\epsilon$ - $\delta$ , no $\epsilon - \delta$ . Es decir, es un guión entre $\epsilon$ y $\delta$ , en lugar de un signo menos.
Usando una función continua como $f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}$ o $g(x)=\arctan x$ , puedes convertir los reales en un intervalo abierto de longitud finita. Al agregar los puntos finales, obtienes un intervalo cerrado de longitud finita correspondiente a los reales con $\pm\infty$ . Entonces puedes usar las definiciones estándar para todo: $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}h(x)=\displaystyle{\lim_{u\to1^-}}h(f^{-1}(u))=\displaystyle{\lim_{u\to(\pi/2)^-}}h(\tan(u))$ y $\displaystyle{\lim_{x\to a}}h(x)=\infty$ medio $\displaystyle{\lim_{x\to a}}f(h(x))=1$ .

jason · Answer 1

Para entender esto, necesitas pensar en la intuición detrás de la $\epsilon$ - $\delta$ definición. Queremos $\lim_{x\to a}f(x)=L$ si podemos hacer $f(x)$ tan cerca de $L$ como nos gusta haciendo $x$ suficientemente cerca de $a$ . Dicho de otra manera, podríamos decir que:

$\lim_{x\to a}f(x)=L$ si se da algun barrio $U$ de $L$ , hay un barrio $V$ de $a$ tal que elementos de $V$ son mapeados por $f$ a elementos de $U$ (excepto posiblemente $a$ sí mismo).

En este contexto, un "vecindario" de un punto $p$ debe entenderse como "puntos suficientemente próximos a $p$ ". Precisemos eso definiendo lo que queremos decir con "cerrar". $\epsilon>0$ (se supone, pero no se requiere, que sea muy pequeño) define

B (X, ϵ) := {y : | X - y | < ϵ},

$B(x,\epsilon):=\{y\,:\,|x-y|<\epsilon\},$ la bola de radio

ϵ

$\epsilon$ acerca de

x

$x$ . Para nuestros propósitos, decimos

U

$U$ es un barrio de

x

$x$ si

U = B (x, ϵ)

$U=B(x,\epsilon)$ para algunos

ϵ > 0

$\epsilon>0$ . (La definición habitual sólo requiere que

U

$U$ contiene tal bola.) Suponiendo

ϵ > 0

$\epsilon>0$ es muy pequeño, esto concuerda con nuestra intuición de lo que debería significar la cercanía. Ahora, si volvemos a la "definición" de nuestro vecindario de un límite, debería poder pensar en ello un poco y convencerse de que es equivalente a la definición habitual.

¿Cómo se relaciona esto con el problema del infinito? Dado que el infinito no es un número real (y cosas como la distancia al infinito no tienen sentido), debemos revisar lo que significa estar "cerca" del infinito. Entonces para $M>0$ (se supone que esta vez es muy grande) definir

B (+ \infty, METRO) := {y : y > METRO}, B (- \infty, METRO) := {y : y < - METRO},

$B(+\infty,M):=\{y\,:\,y>M\},\quad B(-\infty,M):=\{y\,:\,y<-M\},$ los barrios de

\pm \infty

$\pm\infty$ . Con suerte, puede ver por qué estos tienen sentido como definiciones; un número debe estar cerca del infinito si es muy grande (con el signo correcto), por lo que una vecindad del infinito debe contener todos los números suficientemente grandes.

Ahora extendemos nuestra definición de vecindad de límites para incluir el caso donde $a$ o $L$ puede ser $\pm\infty$ . Es un ejercicio similar al anterior para verificar ahora que la definición sigue siendo equivalente a la anterior, solo que ahora la hemos unificado un poco en algún sentido.

solo por curiosidad, ¿de dónde sacaste exactamente esta definición? $B(x, \epsilon) := \{y : |x-y| \leq \epsilon\}$ , ¿está cubierto en Principios de análisis matemático por casualidad?

gato b · Answer 2

Tenemos que cambiar la definición formal aquí porque $\pm\infty$ no son miembros de $\mathbb{R}$ .

Una forma de generalizar esto es considerar el conjunto $\mathbb{R}_\infty = \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ . Tenga en cuenta aquí que no hacemos una distinción entre $\pm\infty$ . Podemos definir una topología de Hausdorff en este conjunto usando la base de conjuntos abiertos

{tu \subset R : tu Esta abierto} \cup {B_{\infty} (d) : d > 0}

$\{U \subset \mathbb{R} : U \text{ is open}\} \cup \{B_\infty(\delta):\delta > 0\}$ donde definimos la bola abierta sobre el infinito como

B_{\infty} (δ) = {x \in R : | x | > δ}

$B_\infty(\delta) = \{x \in \mathbb{R} : |x| > \delta\}$ . Este espacio topológico es compacto y se llama compactación de un punto de $\mathbb{R}$ . Es homeomorfo a un círculo.

(Si está perdido aquí porque no ha oído hablar de la topología antes, imagínese envolviendo la línea real alrededor de un círculo y pegando los extremos en un punto que llamamos $\infty$ . Luego 'olvida' cuáles eran los números originales y trata todas las partes del círculo de la misma manera. En particular, los límites funcionan igual en todas partes de este círculo).

Puedes probar que una función $f : \mathbb{R}_\infty \to \mathbb{R}_\infty$ es continua en un punto $a \in \mathbb{R}$ (utilizando la definición estándar de continuidad en un espacio de Hausdorff) si la restricción $f|_\mathbb{R}$ es continua en $a$ . De manera similar, puede probar que es continua en $a = \infty \in \mathbb{R}_\infty$ si los limites $\lim_{x\to+\infty} |f|_\mathbb{R}|$ y $\lim_{x\to-\infty} |f|_\mathbb{R}|$ existen (usando sus definiciones para estos límites, y la convención $\infty = |\pm\infty|$ ) y

\underset{X \to + \infty}{límite} | F |_{R} | = \underset{X \to - \infty}{límite} | F |_{R} | = F (\infty) .

$\lim_{x\to+\infty} |f|_\mathbb{R}| = \lim_{x\to-\infty} |f|_\mathbb{R}| = f(\infty) .$

Quizá le complazca observar (y probar) que, donde existe,

\underset{X \to + \infty}{límite} F (X) = \underset{X \to^{+} 0}{límite} F (1 / X) .

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to ^+0} f(1/x).$ Si ha leído sobre los mapas de Möbius en

R

$\mathbb{R}$ , encontrarás que

x \mapsto 1 / x

$x \mapsto 1/x$ es un mapa de Möbius tomando

0 \mapsto \infty

$0 \mapsto \infty$ y

\infty \mapsto 0

$\infty \mapsto 0$ . Esta definición (algebraica) está inspirada en el análisis aquí. Los mapas de Möbius forman un grupo bajo composición y son muy importantes en varias áreas de las matemáticas (por ejemplo, en la teoría de las curvas modulares).

Con respecto a sus definiciones 5-8, estuvo muy cerca de su conjetura anterior. Es un ejercicio útil practicar escribir explícitamente lo que crees que quieres decir con frases como "como $x \to \infty$ ".

Cuando hablamos de cualquiera $x$ o $f(x)$ Tendiendo a $\pm\infty$ , queremos decir que "se está volviendo realmente grande" (en un sentido positivo o negativo). Expresamos 'acercándonos mucho' usando el $\epsilon$ - $\delta$ definición con la que está satisfecho. En sus definiciones 1-4, las modificó para cambiar una de las afirmaciones de 'acercándose mucho' a una afirmación de 'creciendo realmente grande'.

Para expresar $x \to +\infty$ en 1, cambió la parte relevante de la declaración a $(\exists \delta : x > \delta \Rightarrow \dots)$ . Para expresar $f(x) \to +\infty$ en 3, cambió la parte relevante de la declaración a $(\forall M > 0: (\exists \delta: \dots \Rightarrow f(x)>M))$ .

Juntando estas caracterizaciones, llegamos a la definición de 5

\underset{X \to + i norte F t y}{límite} F (X) = \infty \Rightarrow \forall METRO > 0 (\exists d : X > d \Rightarrow F (X) > METRO) .

$\lim_{x\to+infty} f(x) = \infty \quad\Rightarrow\quad \forall M > 0 (\exists \delta: x > \delta \Rightarrow f(x) > M).$

Vea si ahora puede hacer 6-8.

ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta definición para límites que involucran ∞∞\infty

perturbador

1. Limitar como $x \to +\infty$

2. Limitar como $x \to -\infty$

3. Limite la evaluación a + $\infty$

4. Limite la evaluación a - $\infty$

5. Limitar como $x \to +\infty$ $= +\infty$

6. Límite como $x \to -\infty$ $= -\infty$

7. Límite como $x \to -\infty$ $= +\infty$

8. Límite como $x \to +\infty$ $= -\infty$

Juan Douma

perturbador

Juan Douma

doug m

Daniel Schepler

Daniel Schepler

Zhanxiong

Marcas.

Respuestas (2)

jason

perturbador

usuario370967

gato b

ϵϵ\epsilon - δδ\delta definición de un límite - menor ϵϵ\epsilon implica menor δδ\delta?

Epsilon Delta definición de un derivado

Demostrar usando la definición epsilon

¿Por qué epsilon no puede depender de delta en su lugar?

¿Cómo se calcula el valor de un límite multivariable?

Demostrar que existe una derivada dado el límite de f'

Pregunta sobre mi prueba de: limh→0f(ch)=limch→0f(ch)limh→0f(ch)=limch→0f(ch) \lim_{h \to 0}f(ch)=\lim_{ch \ a 0}f(ch) para c≠0c≠0c\neq 0

Convergencia de una serie infinita particular

¿Qué sucede si ϵϵ\epsilon es infinito en la definición de límites de ϵϵ\epsilon-δδ\delta?

Cuando lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 en la prueba de razón límite, ¿se sigue que la serie diverge?

ϵ−δϵ−δ\epsilon-\delta definición para límites que involucran ∞∞\infty

perturbador

1. Limitar comoX → + ∞ X → + ∞ x \to +\infty

2. Limitar comoX → − ∞ X → − ∞ x \to -\infty

3. Limite la evaluación a +∞ ∞ \infty

4. Limite la evaluación a -∞ ∞ \infty

5. Limitar comoX → + ∞ X → + ∞ x \to +\infty = + ∞ = + ∞ = +\infty

6. Límite comoX → − ∞ X → − ∞ x \to -\infty = − ∞ = − ∞ = -\infty

7. Límite comoX → − ∞ X → − ∞ x \to -\infty = + ∞ = + ∞ = +\infty

8. Límite comoX → + ∞ X → + ∞ x \to +\infty = − ∞ = − ∞ = -\infty

Juan Douma

perturbador

Juan Douma

doug m

Daniel Schepler

Daniel Schepler

Zhanxiong

Marcas.

Respuestas (2)

jason

perturbador

usuario370967

gato b

1. Limitar como $x \to +\infty$

2. Limitar como $x \to -\infty$

3. Limite la evaluación a + $\infty$

4. Limite la evaluación a - $\infty$

5. Limitar como $x \to +\infty$ $= +\infty$

6. Límite como $x \to -\infty$ $= -\infty$

7. Límite como $x \to -\infty$ $= +\infty$

8. Límite como $x \to +\infty$ $= -\infty$