Por favor, dime lo que el autor quiere decir. ("Temas de álgebra 2ª edición" por I N. Herstein)

Odio las descripciones de un grupo como ese en Herstein, porque no es del todo obvio para un recién llegado que podría no haber algún colapso secreto de todo en el elemento de identidad. ¿Cómo sabes que puedes simplemente "declarar" cuando dos cosas son iguales sin crear algún tipo de inconsistencia en alguna parte?

Lo que Herstein pretende hacer parece describir un grupo por generadores y relaciones, pero normalmente lo máximo que se puede obtener de tal descripción por sí sola es un límite superior en el tamaño del grupo, pero saber que la descripción es realmente un grupo de orden$21$necesitas poner algo de trabajo. Para entender a lo que me refiero, la publicación aquí brinda una descripción de un grupo con 3 generadores y algunas relaciones que resulta ser el grupo trivial después de un trabajo bastante no trivial.

En lugar de tratar de dar sentido a lo que está haciendo Herstein, construyamos un grupo de orden no abeliano.$21$usando$2 \times 2$matrices con entradas en$\mathbf Z/7\mathbf Z$.

En el grupo$(\mathbf Z/7\mathbf Z)^\times$, el subgrupo de orden$3$es$\{1,2,4 \bmod 7\} = \{b \bmod 7 : b^3 \equiv 1 \bmod 7\}$. Dejar$G = \{(\begin{smallmatrix}b&c\\0&1\end{smallmatrix}) \bmod 7 : b^3 = 1 \}$. Las entradas superiores derechas de matrices en$G$son enteros arbitrarios módulo$7$mientras que las entradas superiores izquierdas están restringidas a ser los elementos de$(\mathbf Z/7\mathbf Z)^\times$con orden dividiendo$3$, y esos son los poderes de$2 \bmod 7$. como un conjunto ,$G$tiene tamaño$21$:$3$opciones para la entrada superior izquierda y$7$opciones para la entrada superior derecha, y se pueden elegir arbitrariamente.

Controlar$G$es una multiplicación e inversión cerrada bajo matix, por lo que$G$es un grupo de orden$21$. En$G$, dejar$a = (\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix})$y$x = (\begin{smallmatrix}2&0\\0&1\end{smallmatrix})$. Entonces$a$tiene orden$7$,$x$tiene orden$3$, y$xax^{-1} = (\begin{smallmatrix}1&2\\0&1\end{smallmatrix}) = a^2$. En particular,$a$y$x$no viaje (ya que$xax^{-1} = a^2$y$a^2 \not= a$), entonces$G$es no abeliano. Un elemento general de$G$parece$(\begin{smallmatrix}2^i&j\\0&1\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}1&j\\0&1\end{smallmatrix}) (\begin{smallmatrix}2^i&0\\0&1\end{smallmatrix}) = (\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix})^j (\begin{smallmatrix}2&0\\0&1\end{smallmatrix})^i = a^jx^i.$Herstein escribe elementos de su$G$en la forma$x^ia^j$. Como$i$y$j$variar, el conjunto de todos$a^jx^i$es igual al conjunto de todos$x^ia^j$ya que cada elemento de$G$es el inverso de algo en$G$y$(a^jx^i)^{-1} = x^{-i}a^{-j}$.

Una construcción similar te da un grupo de orden no abeliano$pq$dónde$p$y$q$son primos tales que$q \equiv 1 \bmod p$. Vea la parte superior de la página 5 aquí . Estás mirando el caso.$p = 3$y$q = 7$.

Sí, aunque es correcto, este pasaje del libro es confuso. Recuerdo que me molestó este ejemplo cuando estaba leyendo el libro por primera vez.

Lo que muestra Herstein es un caso especial de cierta construcción de grupos. Entonces con un grupo$G$y un automorfismo adecuado$\phi$de$G$, puedes construir un nuevo grupo$H = \langle G, x \rangle$, dónde$G \trianglelefteq H$y conjugación por$x$actúa sobre$G$como$\phi$hace.

En este punto del libro sería difícil/engorroso para Herstein dar todo el contexto y los detalles necesarios para esta construcción. No me preocuparía demasiado por eso y seguiría leyendo. Honestamente, si alguien está usando el libro para aprender acerca de los grupos por primera vez, creo que la forma en que se presenta este ejemplo no es tan útil.

El símbolo$x$es sólo un ''símbolo formal''. No viene de ningún sistema algebraico, simplemente eliges algo fuera de$G$entonces llámalo$x$. Luego defines una multiplicación en el conjunto de símbolos.$\{x^i a^j\}$, sujeto a las reglas$x^3 = a^7 = e, x^{-1}ax = a^2$. (Entonces el producto de$x$y$a$es solo$xa$, no hay otra manera de describirlo.)

A esto le faltan algunos detalles, por supuesto. ¿Por qué estaría bien definida esta multiplicación? ¿Por qué es asociativo? ¿Cuáles son los inversos?

Algo de contexto:

• En términos más generales, suponga que tiene un grupo$G$y un automorfismo$\phi$de$G$. Luego con la misma construcción, puedes construir un grupo$H = \langle G, x \rangle$, dónde$x$es un símbolo formal y definimos la multiplicación tal que$x^{-1}gx = \phi(g)$para todos$g \in G$. En este caso$H = \{gx^i : g \in G, i \in \mathbb{Z}\}$. Además construimos$H$tal que$\langle x \rangle \cap G = \{e\}$.
• Esta construcción es un producto semidirecto$G \rtimes \langle \phi \rangle$, que es un subgrupo del holomorfo$G \rtimes \operatorname{Aut}(G)$. Para obtener más detalles, busque términos como "producto semidirecto", "producto semidirecto externo", "holomorfo" en un libro de texto.
• Alternativamente, lo que Herstein construye es el siguiente grupo con generadores y relaciones: $$\langle a,x : x^3 = a^7 = 1, x^{-1}ax = a^2 \rangle.$$ Busque "grupos libres", "generadores y relaciones" en un libro de texto.