¿Qué sucede con las funciones de partición en el límite T→0T→0T\to 0 o β→∞β→∞\beta\to\infty?

Considere las funciones de partición canónica y gran canónica dadas por

Z C = ∑ i gramo ( mi i ) mi − β mi i
y
Z GRAMO = ∑ i gramo ( mi i ) mi − β ( mi i − m )
respectivamente con β = 1 k B T .

Preguntas

∙ ¿Qué sucede con estas funciones de partición en el límite? β → ∞ ? ¿Se convierte en una constante (en el sentido de que, independientemente de mi i )?

∙ ¿Cuál es el significado físico del resultado límite (cualquiera que sea el resultado)?

Actualización : la respuesta existente no incluye el rol de gramo ( mi ) es decir, la degeneración del nivel de energía mi que es crucial para tomar el límite. Tampoco menciona lo que sucede con la gran función de partición en el mismo límite. Es más complicado porque m cambia con la temperatura T .

¿Qué problemas encontraste al tratar de tomar el límite tú mismo? mi − X , X → ∞ no es un límite difícil de tomar.
@ACuriousMind Por supuesto, no es difícil matemáticamente. Pero hay otro factor sentado frente a él. gramo ( mi ) cuál es el factor de degeneración, y se requiere saber cómo se comporta. También he expresado mis dudas en un comentario a la respuesta del señor O. Si fuera realmente un problema matemático de tomar límites, no habría preguntado. :-) También hay una pregunta sobre la función de gran partición, y creo que es complicada porque m también varía con T .

Respuestas (2)

en el limite que β → ∞ , todos mi − β mi i 's ir a cero RÁPIDO. Pero el más lento para ir a cero es el más bajo mi i . Este es el estado fundamental, mi 0 .

Para grande β , Z es muy pequeño:

Z = mi − β mi 0 + mi − β mi 1 + mi − β mi 2 + . . . ≈ mi − β mi 0

Entonces, a medida que la temperatura llega al cero absoluto, la probabilidad de que el sistema entre en su estado fundamental se aproxima a 1.

PAG r o b ( mi 0 ) ≈ mi − β mi 0 mi − β mi 0 = 1

PAG r o b ( mi 1 ) ≈ mi − β mi 1 mi − β mi 0 = 0

Editar

La degeneración juega un papel sutil pero no cambia mucho la interpretación física. gramo ( ϵ i ) simplemente va a ser un número entero que multiplica cada mi − β mi i . Por ejemplo, consideremos un sistema de dos estados con mi 0 ; gramo ( ϵ 0 ) = 2 y mi 1 ; gramo ( ϵ 1 ) = 4 . Nuestra función de partición es

Z = 2 mi − β mi 0 + 4 mi − β mi 1 .

En el β → 0 ( T → ∞ ) límite, la degeneración juega un papel muy importante! La probabilidad de estar en estado con mi 0 es 2 2 + 4 = 33 % y PAG ( mi 1 ) = 67 % . (Desde mi 0 → 1 )

Pero en el β → ∞ límite de baja temperatura, la degeneración (del sistema - ver gas fermi por qué esa distinción es importante) básicamente no tiene efecto, ya que multiplicar mi 1 por una constante no evitará que vaya a 0 rápidamente debido a la mi − β mi 1 término.

Voy a querer pensar un poco más sobre el Z GRAMO antes de dar una respuesta, si alguien quiere intervenir, siéntase libre.

1. Quisiste decir PAG r o b ( mi 1 ) en la última línea de tu respuesta. ¿Bien? 2. ¿Podría incluir en su respuesta el papel de gramo ( mi ) es decir, la degeneración del nivel de energía mi ? No los tomaste en cuenta en tu respuesta. 3. Además, ¿puedes comentar sobre la gran función de partición también? El hecho no trivial es que m mismo cambia con T o β . @Señor O

Resolví el problema yo mismo.

De hecho como β → ∞ , mi − β mi i → ∞ también dado que E_i es negativo. Entonces la función de partición tenderá a ∞ .

Sin embargo, mira esto.

Dejar mi metro definirse como min({ mi i }). Entonces podemos escribir la función de partición como

Z = mi − β mi metro ∑ i mi − β ( mi i − mi metro ) ⏟ Δ mi i
Darse cuenta de Δ mi i es positivo, entonces cuando β → ∞ , Z = mi − β mi metro → ∞ . Sin embargo, la probabilidad de la configuración con energía mi metro será 1 y el resto de configuraciones tendrán probabilidad cero, lo cual es un hecho esperado de que a temperatura cero, la distribución es una función delta sobre la configuración de energía mínima.

Mejor,

Shankha.

¿Qué sucede con las funciones de partición en el límite T→0T→0T\to 0 o β→∞β→∞\beta\to\infty?
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