Expansión a alta temperatura en general

Estoy haciendo referencia a esta tesis que debería ser de acceso abierto.

En el Apéndice D.1 "Expansión a alta temperatura en general", el autor escribe la expansión a alta temperatura de la siguiente manera:

⟨ O ^ ⟩ = ∑ i ⟨ i | O ^ mi − β H ^ | i ⟩ ∑ i ⟨ i | mi − β H ^ | i ⟩ = β 0 [ 1 Θ T r ( O ^ ) ] − β 1 [ 1 Θ T r ( O ^ H ^ ) − 1 Θ 2 T r ( O ^ ) T r ( H ^ ) ] + β 2 [ 1 2 1 Θ T r ( O ^ H ^ 2 ) − 1 Θ 2 T r ( O H ^ ) T r ( H ^ ) − 1 2 1 Θ 2 T r ( O ^ ) T r ( H ^ 2 ) + 1 Θ 3 T r ( O ^ ) T r ( H ^ ) 2 ] + O ( β 3 )
dónde O ^ es algún operador y la traza es sobre estados de múltiples partículas | i ⟩ ; Θ ≡ T r ( I ) es la dimensión del problema.

Mi pregunta es: ¿Cómo hicieron esta expansión? (Mi intento :) Claramente ha habido una expansión de la exponencial en el numerador en términos de β ,

(1) ∑ i ⟨ i | O ^ mi − β H ^ | i ⟩ = ∑ metro ( − β ) metro metro ! ∑ i ⟨ i | O ^ H ^ metro | i ⟩

pero no estoy seguro 1) cómo o dónde Θ proviene, y también 2) por qué hay una división de los términos rastreados: T r ( O ^ H ^ ) , T r ( O ^ ) T r ( H ^ ) en β 1 Por ejemplo. Y también 3) cómo dividir formalmente el denominador ∑ i ⟨ i | mi − β H ^ | i ⟩ , como después de sustituir (1) de nuevo en la ecuación original:

∑ i ⟨ i | O ^ H ^ metro | i ⟩ ∑ i ⟨ i | mi − β H ^ | i ⟩ = términos para cada  β metro

¿Alguien puede iluminarme sobre esto?

Respuestas (1)

A primer orden en β , el numerador dice

∑ i < i | O mi − β H | i > = ∑ i < i | O | i > − β ∑ i < i | O H | i > = T r   O − β   T r   O H
mientras que el denominador es
∑ i < i | mi − β H | i > = ∑ i < i | i > − β ∑ i < i | H | i > = Θ − β   T r   H = Θ ( 1 − β Θ   T r   H )
Desde β es pequeño, el inverso es (a primer orden)
1 Θ ( 1 − β Θ   T r   H ) − 1 = 1 Θ ( 1 + β Θ   T r   H )
El promedio es finalmente de primer orden en β
⟨ O ⟩ = 1 Θ ( T r   O − β   T r   O H ) ( 1 + β Θ   T r   H ) = 1 Θ T r   O − β Θ T r   O H + β Θ 2 T r   O   T r   H
Te dejo extender el cálculo a órdenes superiores.

Hay un error tipográfico en la línea del denominador, pero por lo demás entiendo la esencia del método. ¡Gracias! ( ∑ i < i | mi − β H | i > , no ∑ i < i | O mi − β H | i > .)
¡Gracias! He actualizado la respuesta. ¡Estoy feliz de haber sido útil!
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