Pregunta sobre el grado de libertad físico en la teoría de Maxwell: por qué el calibre de Coulomb puede corregir todos los grados de libertad redundantes

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Pregunta sobre el grado de libertad físico en la teoría de Maxwell: por qué el calibre de Coulomb puede corregir todos los grados de libertad redundantes

Anónimo

Dado $4$ -potencial $A^\mu(x)=(\phi(x),\mathbf{A}(x))$ , las ecuaciones de Maxwell del vacío:

\nabla^{2} ϕ + \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot A) = 0

$\nabla^2\phi+\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot \mathbf{A} )=0$

\nabla^{2} A - \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} - \nabla (\nabla \cdot A + \frac{\partial ϕ}{\partial t}) = 0

$\nabla^2 \mathbf{A} -\frac{\partial^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} - \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{\partial \phi}{\partial t})=0$

Hay un grado de libertad redundante (dof) en $A^\mu(x)$ :

A^{m} (X) \to A^{m} (X) + \partial^{m} λ (X)

$A^\mu(x)\rightarrow A^\mu(x) +\partial^\mu \lambda(x)$

En calibre culombio:

\begin{matrix} (1) & \nabla \cdot A (X) = 0 \end{matrix}

$\nabla\cdot \mathbf{A}(x)=0 \tag{1}$ La ecuación de vacío de Maxweel se convierte en:

\begin{matrix} (2) & \nabla^{2} ϕ = 0 \end{matrix}

$\nabla^2\phi =0 \tag{2}$

\begin{matrix} (3) & \nabla^{2} A - \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} = \nabla (\frac{\partial ϕ}{\partial t}) \end{matrix}

$\nabla^2 \mathbf{A} -\frac{\partial^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} = \nabla( \frac{\partial \phi}{\partial t}) \tag{3}$

Entonces siempre podemos elegir $\phi(x)=0$ . Entonces la pregunta es que el grado físico de libertad es $A^\mu(x)= (0,\mathbf{A}(x))$ con una restricción $\nabla\cdot \mathbf{A}(x)=0$ . Cada libro de texto dice que el grado físico de libertad es $2$ . Pero parece que todavía hay dof redundantes, siempre podemos hacer

A (X, t) \to A (X, t) + \nabla Λ (X)

$\mathbf{A}(\mathbf{x},t)\rightarrow \mathbf{A}(\mathbf{x},t)+\nabla \Lambda(\mathbf{x})$ tal que

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} Λ (X) = 0 \end{matrix}

$\nabla^2 \Lambda(\mathbf{x}) =0\tag{4}$ Pero la ecuación anterior es la ecuación de Laplace que tiene soluciones no triviales, función armónica . Por ejemplo,

Λ (x) = x y z

$\Lambda(\mathbf{x}) = xyz$ .

Mis preguntas

Usando $\phi(x) =0$ y $\nabla\cdot \mathbf{A}(\mathbf{x},t)=0$ , he restado dos dof redundantes , ¿por qué arreglar $\Lambda(\mathbf{x})$ además no se puede restar dof más redundante?
Muchos libros de texto argumentarán que $A^\mu(x)$ debería desaparecer en el infinito espacial, por lo que la ecuación de Laplace $(4)$ con condición de contorno cero en el infinito tiene solo una solución trivial. Pero, ¿por qué tenemos que exigir $A^{\mu}$ desaparecer en el infinito espacial? Por ejemplo, un campo magnético uniforme tiene $\mathbf{A}(x) = \mathbf{B}\times \mathbf{r}/2$ que no se desvanece en el infinito. Si requieres eso $A^\mu$ se desvanecen en el infinito espacial, incluso no puede obtener soluciones de campo magnético o eléctrico constante de las ecuaciones de Vacuum Maxwell. E incluso la solución de ondas electromagnéticas $e^{i k(t -x)}$ también no se desvanece en el infinito espacial. Esta pregunta tiene alguna relación con la fijación del calibre de Coulomb y la "normalizabilidad"
¿Por qué el libro de texto dice "El calibre de Lorentz es invariante de Lorentz pero no puede arreglar todo el dof redundante El calibre de Coulomb puede arreglar todo el dof redundante pero no es invariante de Lorentz "? Pero es obvio que solo el calibre de Coulomb $(1)$ tampoco puede arreglar todo el dof redundante. Podemos ver que la fijación del indicador $\phi =0$ no es consecuencia de $(2)$ . Es forzado artificialmente y $\phi=0$ es independiente del calibre de Coulomb. Por ejemplo, ecuaciones de vacío de Maxwell $(2),(3)$ puede tener una solución de campo eléctrico uniforme $\phi(x)=-\mathbf{E}\cdot \mathbf{r}$ , $\mathbf{A}=0$ satisfaciendo solo el calibre de Coulomb $(1)$ pero $\phi(x)\neq 0$ . Si requerimos $\phi=0$ y $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$ , la solución se convierte en $\phi=0$ y $\mathbf{A}= \mathbf{E} t$ .

AccidentalFourierTransformar

consulte también Contar el número de grados de libertad que se propagan en Electrodinámica de calibre de Lorenz y Contar los grados de libertad de los bosones de calibre .

usuario153663

@AccidentalFourierTransform Sé cómo contar de esta manera. Es sólo que cada libro dirá. Quiero explicar la contradicción en mi pregunta.

AccidentalFourierTransformar

Nota importante: un campo electromagnético constante es un concepto muy patológico. Los campos EM de la "vida real" se desvanecen en el infinito espacial.

usuario153663

@AccidentalFourierTransform Solo quiero hablar sobre el marco de la teoría en sí. Y si requieres

A^{μ}

$A^\mu$ se desvanecen en el infinito espacial, no podemos obtener una solución de campo eléctrico uniforme a partir de las ecuaciones de Maxwell.

j murray

@fff123123 La elección de las condiciones de contorno es una parte inherente del trabajo con potenciales. Realmente no importa qué condición de contorno elija: siempre que elija una, el indicador de Coulomb utiliza toda la libertad residual, porque las soluciones de la ecuación de Laplace están determinadas únicamente por sus condiciones de contorno. La única condición límite estrictamente física es aquella que se desvanece en el infinito espacial, pero desde un punto de vista matemático, puedes elegir lo que quieras.

usuario153663

@J.Murray La condición límite física debe agregarse

E

$\mathbf{E}$ y

B

$\mathbf{B}$ . Entonces la condición de contorno en

A^{μ}

$A^\mu$ es no local. De hecho, cualquier solución de la ecuación de Maxwell más el grado de una función armónica

Λ (x)

$\Lambda(\mathbf{x})$ sigue siendo una solución que satisface la condición de contorno del campo eléctrico y el campo magnético.

j murray

@fff123123 Disculpas por mi lenguaje descuidado, tienes toda la razón. Sin embargo, agregar una función de calibre armónico que no desaparece hace cosas tontas, como desconectar la idea de potencial eléctrico de la idea de energía potencial eléctrica, hacer que el potencial electrostático de una carga puntual ya no sea esféricamente simétrica, etc. etc. Imponer simetrías físicas en el nivel de los potenciales es una elección que describiría vagamente como física.

AccidentalFourierTransformar

Posible duplicado de Faddeev-Popov Gauge-Fixing en electromagnetismo

Respuestas (2)

Pregunta sobre el grado de libertad físico en la teoría de Maxwell: por qué el calibre de Coulomb puede corregir todos los grados de libertad redundantes

consulte también Contar el número de grados de libertad que se propagan en Electrodinámica de calibre de Lorenz y Contar los grados de libertad de los bosones de calibre .
@AccidentalFourierTransform Sé cómo contar de esta manera. Es sólo que cada libro dirá. Quiero explicar la contradicción en mi pregunta.
Nota importante: un campo electromagnético constante es un concepto muy patológico. Los campos EM de la "vida real" se desvanecen en el infinito espacial.
@AccidentalFourierTransform Solo quiero hablar sobre el marco de la teoría en sí. Y si requieres $A^\mu$ se desvanecen en el infinito espacial, no podemos obtener una solución de campo eléctrico uniforme a partir de las ecuaciones de Maxwell.
@fff123123 La elección de las condiciones de contorno es una parte inherente del trabajo con potenciales. Realmente no importa qué condición de contorno elija: siempre que elija una, el indicador de Coulomb utiliza toda la libertad residual, porque las soluciones de la ecuación de Laplace están determinadas únicamente por sus condiciones de contorno. La única condición límite estrictamente física es aquella que se desvanece en el infinito espacial, pero desde un punto de vista matemático, puedes elegir lo que quieras.
@J.Murray La condición límite física debe agregarse $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ . Entonces la condición de contorno en $A^\mu$ es no local. De hecho, cualquier solución de la ecuación de Maxwell más el grado de una función armónica $\Lambda(\mathbf{x})$ sigue siendo una solución que satisface la condición de contorno del campo eléctrico y el campo magnético.
@fff123123 Disculpas por mi lenguaje descuidado, tienes toda la razón. Sin embargo, agregar una función de calibre armónico que no desaparece hace cosas tontas, como desconectar la idea de potencial eléctrico de la idea de energía potencial eléctrica, hacer que el potencial electrostático de una carga puntual ya no sea esféricamente simétrica, etc. etc. Imponer simetrías físicas en el nivel de los potenciales es una elección que describiría vagamente como física.
Posible duplicado de Faddeev-Popov Gauge-Fixing en electromagnetismo

prahar · Answer 1

Lo principal con lo que hay que tener cuidado aquí son las condiciones de contorno en el campo de calibre. $A_\mu(x)$ y el parámetro de calibre $\Lambda(x)$ . En particular, el conjunto de transformaciones de calibre que uno puede "calibrar" debe desaparecer en "infinito". Por infinito, aquí uno a menudo se refiere tanto al infinito espacial como al infinito nulo. No puede medir las "transformaciones de gran calibre", también conocidas como transformaciones de calibre global, ya que corresponden a simetrías físicas reales de la teoría con consecuencias físicas en el sistema (deducidas a través de las leyes de conservación). El ejemplo más simple es cuando $\Lambda(x) = \lambda =$ constante. Estas simetrías de calibre dan lugar a la conservación de la carga y son muy importantes. No pueden ni deben eliminarse. Dicho esto, volvemos a la ecuación en calibre Coulomb. Las transformaciones de calibre residual son generadas por funciones $\Lambda(x)$ satisfactorio
$\nabla^{2} Λ (X) = 0, Λ (X) \to 0 en el infinito$ $\nabla^2 \Lambda(x) = 0 \, , \qquad \Lambda(x) \to 0 ~~\text{at infinity.}$ Ahora puedes convencerte de que la única solución a estas ecuaciones es $Λ (X) = 0 .$ $\Lambda(x) = 0\, .$ Esto responde a tu primera pregunta.
La respuesta a su segunda pregunta sobre el "por qué" de estas condiciones de contorno es el requisito de un flujo de energía finito a través de los límites del sistema. La idea es que nos restringimos a soluciones que tienen la propiedad de que si se ingresa energía finita en el sistema a través de un límite determinado, entonces se debe liberar energía finita del sistema. Aquí, no estoy hablando de la energía total que siempre será fija debido a la conservación de la energía. De lo que estamos hablando aquí es del flujo de energía local a través de cada límite. Solo estamos interesados en soluciones a las ecuaciones de Maxwell donde incluso la densidad de energía local es finita en todos los puntos y no se crean singularidades. Todas estas soluciones deben tener la propiedad de que "desaparezcan" de manera adecuada cerca de un límite adecuado. Este requisito, como usted bien señala, excluye los campos eléctricos o magnéticos constantes cuya energía total es proporcional al volumen del sistema. Las soluciones de onda no mueren en el infinito espacial, pero está bien, ya que el infinito espacial no es un límite adecuado para estas soluciones. Las soluciones en forma de onda viajan hacia afuera y alcanzan el infinito nulo ${\mathscr I}^+$ en oposición al infinito espacial. En otras palabras, aunque las soluciones de ondas no se desvanecen en el infinito espacial, no contribuyen a la densidad de energía allí. Por lo tanto, necesitamos que el flujo de energía en ${\mathscr I}^+$ debido a que las soluciones de onda son finitas y puede verificar que este sea el caso.
$\phi(x) \neq 0$ no significa que sea un grado de libertad. Un grado de libertad se define como una "parte" o componente del campo $A_\mu(x)$ eso no está determinado por las ecuaciones de movimiento y, por lo tanto, es completamente libre de elegir. Para decirlo con más precisión, un grado de libertad es el dato que debe prescribirse (completamente libre) en una superficie de Cauchy para garantizar una evolución temporal única hacia el pasado y el futuro. Es la información sobre el campo que determina completamente todos los demás aspectos del mismo. De este modo, $\phi$ nunca es un grado de libertad. En cualquier calibre que elija, es fácil ver que está determinado completamente en términos de $A_i(x)$ .

Zohaib Aarfi · Answer 2

1: $A^\mu$ campo corresponde al campo fotónico y sabemos que un fotón tiene dos grados de libertad en términos de su polarización. Puede ser polarizado a la derecha o a la izquierda. Entonces, una teoría consistente también debería dar 2 DOF.

Analicemos el Coulomb Gauge. Tenemos cuatro componentes de $A^\mu$ , significa 4 DOF. Arreglemos $\phi =0$ lo que elimina un DOF. Entonces nos quedamos con 3 DOF. Entonces $\nabla\cdot \mathbf{A}(x)=0 \tag{1}$ muestra que 3 componentes están relacionados y 1 de 3 puede expresarse en términos de otros 2 componentes. Así que hemos eliminado un DOF más. Por lo tanto, la teoría se vuelve consistente al imponer restricciones en el campo Guage. Este tipo de fijación de calibre se denomina fijación de calibre Clase 1.

2: No sé acerca de su segunda pregunta.

3: Estás pensando bien pero te estás perdiendo una cosa que no entendemos $\phi=0$ de cualquier procedimiento teórico, es nuestra elección, es hacer que nuestra teoría funcione para que la impongamos y nada más. Ahora ven a la invariancia de Lorentz. Las restricciones se tienen en cuenta cuando cuantificamos la teoría. calibre Lorentz $\partial^\mu A_\mu=0$ nos da 3 DOF (Un DOF extra no físico) pero al final cuando cuantificamos obtenemos corchetes de Poisson en forma covariante (los componentes temporales/espaciales se combinan en una forma compacta). Por otro lado, cuando tomamos el calibre de Coulomb, terminamos con la parte temporal eliminada y el corchete de Poisson solo para la parte espacial del campo y los momentos conjugados correspondientes. Así que se pierde la covarianza explícita aunque la teoría es consistente. En este caso, tenemos que demostrar que nuestra teoría sigue siendo covariante mientras que hemos perdido la parte temporal por completo.

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micheal y mayor

[André_Burnel]_Noncovariant_Gauges_in_Canonical

Pregunta sobre el grado de libertad físico en la teoría de Maxwell: por qué el calibre de Coulomb puede corregir todos los grados de libertad redundantes

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