Fijación de calibre de un campo arbitrario: grados de libertad fuera y dentro de la carcasa

En esta respuesta, resumimos los resultados. El análisis en sí se puede encontrar en los libros de texto, véase, por ejemplo, Refs. 1 y 2

$\downarrow$Tabla 1: Giro sin masa$j$campo en$D$dimensiones del espacio-tiempo.

$$\begin{array}{ccc} \text{Massless}^1 & \text{Off-shell DOF}^2 & \text{On-shell DOF}^3 \cr j=0 & 1 & 1 \cr j=\frac{1}{2} & n & \frac{n}{2} \cr j=1 & D-1 & D-2 \cr j=\frac{3}{2} & n(D-1) & \frac{n}{2}(D-3) \cr j=2 & \frac{D}{2}(D-1) & \frac{D}{2}(D-3) \cr \vdots &\vdots &\vdots \cr \text{Integer spin }j\in\mathbb{N}_0 & \begin{pmatrix} D+j-2 \cr D-2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} D+j-5 \cr D-2 \end{pmatrix}& \begin{pmatrix} D+j-4 \cr D-4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} D+j-5 \cr D-4 \end{pmatrix}\cr \text{Integer spin }D=4 & j^2+2 & 2-\delta^j_0 \cr \text{Integer spin }D=5 & \frac{1}{6}(2j+1)(j^2+j+6) & 2j+1\cr \vdots &\vdots &\vdots \cr \text{Half-int. spin }j\in\mathbb{N}_0+\frac{1}{2} & n\begin{pmatrix} D+j-\frac{5}{2} \cr D-2 \end{pmatrix}+ n\begin{pmatrix} D+j-\frac{9}{2} \cr D-2 \end{pmatrix}& \frac{n}{2}\begin{pmatrix} D+j-\frac{9}{2}\cr D-4 \end{pmatrix} \cr \text{Half-int. spin }D=4 &n(j^2+\frac{3}{4}) &\frac{n}{2} \cr \text{Half-int. spin }D=5 &\frac{n}{6}(2j+1)(j^2+j+\frac{9}{4}) &\frac{n}{4}(2j+1) \cr \vdots &\vdots &\vdots \cr \end{array}$$

$^1$Para multipletes masivos, suba 1 dimensión de espacio-tiempo, es decir, cambie$D\to D+1$(sin cambiar el número$n$de los componentes del espinor). Por ejemplo, el DOF on-shell para campos 4D masivos tiene un factor famoso$2j+1$, cf. La fila$D=5$en la Tabla 1.

$^2$DOF fuera de la carcasa = # (componentes) - # (transformaciones de calibre).

$^3$DOF en caparazón = # (estados de helicidad) = (DOF clásico)/2, donde DOF clásico = # (condiciones iniciales).

$n$=# (componentes del espinor). Por ejemplo, un espinor de Dirac tiene$n=2^{[D/2]}$componentes complejos, mientras que un espinor de Majorana tiene$n=2^{[D/2]}$componentes reales,

$\downarrow$Tabla 2: Antisimétrica$p$-forma el potencial de calibre en$D$dimensiones del espacio-tiempo,$p\in\mathbb{N}_0$.

$$\begin{array}{ccc} p\text{-form gauge potential}& \text{Off-shell DOF} & \text{On-shell DOF} \cr & \begin{pmatrix} D-1 \cr p \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} D-2 \cr p \end{pmatrix} \cr \end{array}$$

Referencias:

1. DZ Freedman y A. Van Proeyen, SUGRA, 2012.

2. H. Nastase, Introducción a SUGRA, arXiv:1112.3502 ; Capítulo 5.

Tal vez, será particularmente la respuesta a su pregunta.

Es conveniente clasificar los campos según la clasificación de Wigner de la representación del grupo de Poincaré. Primero suponga solo un caso sin masa. En este caso no hay operador Casimir masivo.$\hat {P}^{2}$y girar el operador Casimir$\hat {W}^{2}$, pero el operador de Pauli-Lubanski es proporcional al operador de 4 impulsos con factor$\hat {h} = \frac{(\hat {\mathbf S} \cdot \hat {\mathbf p})}{|\mathbf p|}$que se llama helicidad. Es un operador invariante (para campos sin masa), por lo que podemos clasificar los campos por él. El estado con helicidad fija puede estar conectado solo con el estado con el opuesto; es posible si la teoría es invariante bajo inversiones espaciales. Entonces, solo hay dos (máximo) grados de libertad para el campo sin masa de un giro arbitrario. Con esta interpretación, puede entender el procedimiento de fijación de calibre solo como el criterio de irreductibilidad (masa cero) de la representación (grupo de Poincaré) del campo, y la respuesta a su pregunta sobre contar los grados de libertad es siempre dos.

Para una mejor comprensión de cómo la fijación del calibre disminuye el número de libertad, supongamos que el giro masivo$s$caso. Usemos las condiciones de irreductibilidad $(1)-(4)$para ello. solo se van$2s + 1$grados de libertad (al principio había$4^{s}$componentes). Después de eso, pongamos misa.$m$en$(1)$a cero. Entonces condiciona$(2)$cortará un grado adicional de libertad.

Por ejemplo, el campo spin-one:

vamos a establecer$m$a cero. Entonces implica libertad de calibre adicional, y podemos establecer$u^{\mu}A_{\mu} = 0$para un 4-vector temporal arbitrario$u_{\mu}$. Disminuye el número de grados de libertad en uno. Es posible porque hay transformaciones.$A_{\mu} \to A_{\mu} + \partial_{\mu} f$, que puede satisfacer la primera ecuación de$(5)$. Entonces tenemos dos grados de libertad.

Campo de giro dos:

vamos a establecer$m$a cero. Entonces podemos establecer$u_{\mu}A^{\mu \nu} =0$, lo que reducirá 3 grados de libertad adicionales (el cuarto es igual a uno de$\partial_{\mu}A^{\mu \nu} = 0$, por lo que nuevamente obtenemos 2 grados. Es posible porque hay transformaciones de calibre.$A_{\mu \nu} \to A_{\mu \nu} + \partial_{\mu} f_{\nu} + \partial_{\nu} f_{\mu}$que puede satisfacer la primera ecuación de$(5)$.