¿Prueba de que siempre podemos encontrar una transformación de calibre tal que A0=0A0=0A_0=0?

Estoy tratando de seguir la prueba de Coleman de sus conferencias "Aspectos de la simetría" en la página 200-201. Demuestra que siempre es posible trabajar en el calibre temporal para una teoría general de Yang-Mills-Higgs. Repetiré rápidamente su argumento. Considere algún campo de Higgs,$\phi$, para el cual la derivada covariante direccional desapareció en algún camino$P$:

$$\begin{equation} \frac{dx^\mu}{ds} D_\mu \phi=0 \Rightarrow \frac{d \phi}{ds}=-\frac{dx^\mu}{ds} A_\mu \phi \end{equation}$$

dónde$s$es el parámetro del camino, tal que el camino comienza en el punto$x_0$y termina en$x_1$para$s \in [0,s_f]$. La solución de esta ecuación viene dada por:

$$\begin{equation} g(P) = \mathcal{P} \exp \left( -\int\limits_{P(0)}^{P(s_f)} A_\mu(P(s)) \; \mathrm{d} x^\mu \right) \end{equation}$$

dónde$\mathcal{P}$denota el símbolo de ordenación de ruta. Además, podemos demostrar que las propiedades de transformación están dadas por:

$$\begin{equation} g(P)' = g(x_1) g(P) g(x_0)^{-1} \end{equation}$$

Ahora la prueba: ``Para cualquier punto del espacio-tiempo$x$, definir$P_x$ser el camino en línea recta desde$(\mathbf{x},0)$a$x$. La transformación de calibre deseada se define por:

$$\begin{equation} g(x)=g(P_x)^{-1} \end{equation}$$

pues, bajo esta transformación:

$$\begin{equation} g(P_x)' = g(P_x)^{-1} g(P_x) g(P_0)=1 \end{equation}$$

a partir del cual$A_0=0$sigue por diferenciación.''

Entiendo las matemáticas antes de la prueba real, pero encuentro su prueba bastante confusa (tal vez porque el inglés no es mi primer idioma). Por lo que entiendo, está definiendo un camino.$P_x$en cada punto$x$en el espacio-tiempo. Además,$P_x$es una línea recta que evoluciona solo en el tiempo, es decir$P_x$se queda en el mismo punto$\mathbf{x}$en el espacio pero evoluciona con$t$. ¿Es eso correcto? Si es así, entonces$g(P_x)$es dado por:

$$\begin{equation} g(P_x) = \mathcal{P} \exp \left( -\int\limits_{P(0)}^{P(s_f)} A_0(P_x(s)) \; \mathrm{d} x^0 \right) \end{equation}$$

y de hecho esto implica:

$$\begin{equation} \partial_0 g(P_x)' = A_0' = 0 \end{equation}$$

Si mi interpretación es correcta hasta ahora, entonces tengo la siguiente pregunta (quizás estúpida):

Cómo lo sabemos$\phi$en cada punto del espacio-tiempo$x$obedecer siempre la primera ecuación que escribí? En otras palabras, toda la prueba se basa en la idea de que$\phi$satisfizo esa ecuación para el camino$P_x$, pero ¿cómo sabemos que eso es cierto?