Naturaleza de la constante de acoplamiento de "carga" en QED

Estoy tratando de entender la teoría clásica de calibre desde un punto de vista geométrico diferencial, pero hay algo que no entiendo particularmente.

Creo que la respuesta más adecuada a por qué solemos ver el$\text{U}(1)$La conexión de QED (y también cualquier otra conexión de calibre) como una conexión en un haz de fibra principal en lugar de un haz vectorial se debe a que cualquier campo que es invariante bajo un$\text{U}(1)$la transformación interactuará con el mismo campo electromagnético$A_\mu$. Campos escalares complejos, campos de Dirac, campos de quarks, etc., interactúan con el mismo campo de fotones.$A_\mu$. si consideramos$A_\mu$ser una forma de conexión de una conexión en el paquete vectorial cuyas secciones son campos escalares complejos, entonces no tendríamos garantía de que el$A_\mu$de un campo de Dirac representaría el mismo campo.

Si consideramos que la conexión reside en un paquete principal, entonces inducirá conexiones en todos los paquetes vectoriales asociados, por lo que si consideramos los paquetes vectoriales de campos escalares cargados, campos de Dirac, campos de quarks, etc. como paquetes vectoriales asociados de un soltero$\text{U}(1)$paquete principal, entonces este problema desaparece.

El problema:

Considere el campo de electrones$\psi_e$, y la conexión que actúa sobre estos campos como

$$D_\mu\psi_e=\partial_\mu\psi_e+\mathcal{A}_\mu\psi_e.$$

El campo$\mathcal{A}_\mu$es un$\mathfrak{u}(1)$-campo valorado, y podemos identificar$\mathfrak{u}(1)$con$i\mathbb{R}$, por lo que podemos dividir la unidad imaginaria, y también una constante de acoplamiento ya que por qué diablos no y obtenemos$\mathcal{A}_\mu=iqA_\mu$, dónde$A_\mu$ahora es un campo valorado real e identificamos$q=-e$como la carga del electrón.

Pero si consideramos$\psi_u$el campo para el quark up, tenemos

$$D_\mu\psi_u=\partial_\mu\psi_u+\tilde{\mathcal{A}}_\mu\psi_u,$$ y hacemos un split $\tilde{\mathcal{A}}_\mu=i\tilde{q}A_\mu$donde ahora $\tilde{q}=\frac{2}{3}e$es un cargo diferente .

Usualmente identificamos el campo electromagnético como el campo "realizado"$A_\mu$y podemos tomar estos como iguales para ambos$\psi_e$y$\psi_u$, pero las formas de conexión reales$\mathcal{A}$y$\tilde{\mathcal{A}}$son diferentes.

La pregunta:

¿Qué hace la diferencia entre estos dos campos? Quiero decir, si consideramos la relatividad general/geometría de Riemann, el mismo$\text{O}(1,3)$la conexión en el paquete de marcos ortonormales induce las formas de conexión$\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}$en el haz tangente como$\nabla_\mu X^a=\partial_\mu X^a+\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}X^b$y las formas de conexión$-\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}$en el paquete cotangente como$\nabla_\mu X_b=\partial_\mu X_b-\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}X_a$, pero esta diferencia surge naturalmente del requisito de que la derivada covariante conmuta con contracciones.

No existe tal consideración para el caso de la$\psi_e$y$\psi_u$campos.

Por supuesto, supongo, la respuesta todopoderosa es que el electrón tiene una carga de$-1$y el quark up tiene una carga de$+2/3$y así es como debe hacerse, pero tengo curiosidad por saber si hay una respuesta matemática más profunda.

Sé que las formas de conexión local dependen de cómo se represente el grupo de estructura en la fibra modelo de los paquetes de vectores asociados, sin embargo, podemos ver el "espacio Étale" de los campos de quarks up como la suma directa triple de un "paquete de Dirac" consigo mismo, y como tal, si se da una representación en la fibra modelo para el paquete de Dirac, entonces hay una representación de suma directa muy natural en el "paquete de quarks arriba".

¿Significa esto que el grupo$\text{U}(1)$se representa de manera diferente en el "paquete de quarks up" que en el "paquete de Dirac"? Si es así, ¿en qué se diferencian las dos representaciones?