Cuantificación de la teoría de calibre con acoplamiento mínimo

Tengo una pregunta sobre la cuantización de la teoría de calibre con un término de acoplamiento mínimo. Lo que entiendo es que si a uno se le da una acción

$$S=-\int d^4 x \frac{1}{4}F^2 \tag1$$ Dado que esta acción tiene un impulso canónico que se desvanece$\Pi_0^a \equiv \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial_0 A_0^a}=0$, uno puede usar el método Faddeev-Popov para encontrar una acción físicamente equivalente $$\int d^4 x -\frac{1}{4}F^2 -\partial_\mu \overline{c}\partial^\mu c + \frac{1}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2 \tag2$$ Luego puede proceder con la cuantización habitual porque esta acción tiene un impulso canónico que no se desvanece. Mi pregunta es : si en cambio se nos da una acción de la forma $$S=\int d^4 x -\frac{1}{4}F^2 +|D\phi|^2 -V(|\phi|^2)\tag3$$ dónde$\phi$es un campo escalar y$D_\mu\phi = \partial_\mu \phi + i A^a_\mu \tau^a \phi$dónde$\tau^a$son generadores de grupo calibre. Entonces, ¿necesitamos el método Faddeev-Popov para reescribir la acción?$(1)$como acción$(2)$? porque la acción$(3)$tiene un impulso canónico que no desaparece$\Pi_0^a \equiv \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial_0 A_0^a}$viniendo del término de acoplamiento mínimo de todos modos. $$\int |D\phi|^2 = \int |\partial \phi|^2 + i (\phi^\dagger A\partial \phi-\partial\phi^\dagger A \phi)+\phi^\dagger A^2 \phi = \int |\partial \phi|^2 + i (-2\partial\phi^\dagger A \phi - \phi^\dagger \partial_\mu A^\mu \phi)+\phi^\dagger A^2 \phi$$ Así que el momento canónico es$\Pi^{a}_0 = \phi^\dagger \tau^a\phi$?