¿Qué simetría global del espacio de Minkowski (si la hay) se mide con la invariancia del difeomorfismo de la relatividad general?

Question

¿Qué simetría global del espacio de Minkowski (si la hay) se mide con la invariancia del difeomorfismo de la relatividad general?

Física
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relatividad general
difeomorfismo-invariancia

parker

El espacio de Minkowski tiene simetría traslacional y de Lorentz, que juntas dan la simetría de Poincaré. (También tiene algunas simetrías discretas como la paridad y la inversión temporal de las que no me ocuparé). En algunos sentidos, parece natural pensar en la invariancia del difeomorfismo/covarianza general de la relatividad general como la versión "calibrada" de algunos de estas simetrías. ¿Pero cuáles?

1) El principio de equivalencia a menudo se establece como "el espacio-tiempo siempre se parece localmente al espacio de Minkowski", o "el valor de un escalar contraído a partir de tensores covariantes de Lorentz en el mismo punto en el espacio-tiempo es invariante en coordenadas", o algo por el estilo. Me parece que si solo miras un parche infinitesimal del espacio-tiempo, entonces realmente no puedes hablar sobre la invariancia traslacional (que te movería fuera del parche), por lo que se debe pensar en el grupo de simetría de esa pequeña región del espacio-tiempo. como el grupo de Lorentz en lugar del grupo de Poincaré. Si la simetría de Lorentz ahora se mantiene localmente en cada punto del espacio-tiempo, entonces se puede decir que hemos "medido" el grupo de Lorentz .

2) Por otro lado, la "corriente conservada" en GR es la conservación local del tensor tensión-energía $\nabla_\mu T^{\mu \nu} = 0$ .

(Sé que esto desencadenará un torrente de comentarios sobre si GR es una teoría de calibre, y el primer teorema de Noether frente al segundo, y las leyes de conservación que son identidades matemáticas frente a las que solo se cumplen bajo las ecuaciones de movimiento, y así sucesivamente. Esas preguntas ya todos han sido golpeados hasta la muerte en este sitio, y no quiero abrir esa caja de Pandora. Digamos que hay una similitud formal entre $J^\mu$ en E&M y $T_{\mu \nu}$ en GR, en que su conservación es trivialmente verdadera bajo las ecuaciones de movimiento $\partial_\nu F^{\mu \nu} = J^\mu$ y $G_{\mu \nu} \propto T_{\mu \nu}$ Y dejar las cosas así.)

Pero esta es solo la versión difeomorfismo-covariante del resultado $\partial_\mu T^{\mu \nu} = 0$ en la teoría del campo espacial de Minkowski, que es la corriente de Noether correspondiente a la simetría de traslación (a diferencia del momento angular generalizado, que corresponde a la simetría de Lorentz). Esto parece implicar que la interpretación natural de la invariancia del difeomorfismo es como la versión medida de la simetría de traslación .

¿Es más natural pensar en la invariancia del difeomorfismo (o la covarianza general de GR, que dependiendo de sus definiciones puede o no ser lo mismo) como la versión calibrada de (a) simetría de Lorentz o (b) simetría traslacional? ¿O (c) ambos (es decir, simetría de Poincaré)? ¿O (d) ninguno, y estas son solo vagas analogías que no pueden hacerse rigurosas? Si (a) o (b), ¿por qué solo se mide un subgrupo adecuado del grupo de Poincaré? Y si (c), entonces ¿por qué sólo la parte traslacional del grupo de calibre parece corresponder a una corriente conservada?

(Por cierto, estoy buscando una respuesta conceptual de alto nivel, en lugar de una con mucha jerga matemática).

Respuestas (3)

¿Qué simetría global del espacio de Minkowski (si la hay) se mide con la invariancia del difeomorfismo de la relatividad general?

una mente curiosa · Answer 1

Primero, la relatividad general no es una teoría de calibre en el sentido estricto (de tener un campo de calibre) si considera el formalismo de segundo orden en el que solo la métrica es dinámica. La acción de Einstein-Hilbert concebida como una acción donde el único campo dinámico es $g$ todavía tiene simetrías dependientes del espacio-tiempo ( $\mathrm{GL}(n)$ -valuadas que actúan como los jacobianos de los difeomorfismos en todos los campos), por lo que tiene simetrías de calibre y, en consecuencia, libertad de calibre (por ejemplo, la que se usa a continuación en el formalismo de conexión de espín para "diagonalizar la métrica" en cada punto), pero no tiene un campo de calibre dinámico. Sin embargo, hay (al menos) dos formas de formular la teoría de la acción de Einstein-Hilbert en términos de un campo de norma:

La relatividad general es una teoría de calibre con el grupo lineal general $\mathrm{GL}(n)$ o el grupo de Lorentz $\mathrm{SO}(n-1,1)$ desempeñando el papel del grupo de calibre, según su formulación, si está dispuesto a relajar el requisito generalmente estricto de que solo las cantidades invariantes de calibre son físicamente significativas, mientras que las cantidades invariantes de Lorentz son más útiles en cálculos genéricos que, digamos, vectores, nadie afirma que no puede medir un vector en un marco determinado. Además, GR no es una teoría de calibre "libre" (en el sentido de Yang-Mills o Chern-Simons) acoplada a algo, el campo de calibre nunca es la única variable dinámica, sino que siempre está acoplado a la métrica o al vielbein, por lo que hay otro sentido en el que no se ajusta a nuestra noción habitual de teoría de calibre.

Las dos formulaciones son las siguientes:

Formalismo clásico (Palatini): En la formulación de primer orden ( formalismo Palatini , así también esta pregunta ) de GR, los campos dinámicos son la métrica y los símbolos de Christoffel. Al examinar el comportamiento de transformación de los Christoffels (como lo hago en esta respuesta ), es sencillo ver que se transforman precisamente como un $\mathrm{GL}(n)$ -campo de calibre. Es bastante crucial tener en cuenta que la invariancia del difeomorfismo no es lo mismo que la invariancia calibrada $\mathrm{GL}(n)$ -invariancia: el primero es un aspecto básico de toda la "física invariante de coordenadas", mientras que el último surge esencialmente porque el escalar de Ricci en la acción de Einstein-Hilbert es análogo al invariante de calibre $\mathrm{Tr}(F)$ términos en las teorías de gauge ordinarias. Sí, a menudo se afirma lo contrario, y sí, estoy seguro de que los difeomorfismos no son versiones calibradas de nada. Sin embargo, los difeomorfismos inducen $\mathrm{GL}(n)$ calibre las transformaciones a través de sus jacobianos, vea nuevamente la respuesta sobre el comportamiento de transformación de los Christoffels que vinculé arriba.
Formalismo de conexión de espín: en lugar de concebir el paquete tangente como asociado a un $\mathrm{GL}(n)$ -paquete de marcos, una variedad de firmas $p,q$ tiene naturalmente una reducción del haz de marcos a un $\mathrm{SO}(p,q)$ paquete de marcos, que puede considerar simplemente como el paquete de todas las bases ortonormales en relación con la métrica de firma dada $p,q$ , mientras que el $\mathrm{GL}(n)$ haz es el haz de todas las bases. El físico conoce esta reducción como la tétrada o formalismo de vielbein , y nos permite reducir la $\mathfrak{gl}(n)$ -campo de calibre valorado $\Gamma$ ese es el Christoffels a un $\mathfrak{so}(p,q)$ -campo de calibre valorado que es la conexión de espín $\omega$ esencialmente por una elección suave de base ortonormal (no coordinada) en todo el espacio-tiempo, que explico con un poco más de detalle en esta respuesta . Los campos dinámicos en el formalismo de conexión de espín son la conexión de espín y el vielbein.

Como prueba complementaria de que el eslogan de que "la invariancia del difeomorfismo es una invariancia de calibre" es falso, le insto a considerar que la teoría ordinaria de Yang-Mills también es perfectamente "invariante del difeomorfismo": la acción de Yang-Mills

\int_{METRO} t r (F \land ⋆ F)

$\int_M \mathrm{tr}(F\wedge{\star}F)$ tampoco depende de las coordenadas en absoluto, no es más o menos "difeomorfismo invariante" que la acción de Einstein-Hilbert. La importancia de la "invariancia del difeomorfismo" en GR es mucho más que, como dije anteriormente, los jacobianos de los difeomorfismos son la fuente natural de las transformaciones de calibre de Christoffels, y que la teoría también sería invariante por separado justo debajo de la

G L (n)

$\mathrm{GL}(n)$ transformaciones sin considerar un difeomorfismo subyacente.

Entonces, ¿cómo se explica la similitud formal entre la conservación de $T_{\mu \nu}$ en GR y en teorías translacionalmente invariantes sobre el espacio-tiempo plano?
@tparker No creo que sea una "similitud formal", sino que la última es simplemente un caso especial de la primera: en un espacio-tiempo plano, simplemente tenemos $\nabla_\mu = \partial_\mu$ (en algunas coordenadas).
No estoy de acuerdo en que sea un caso especial. En GR, la conservación de $T_{\mu\nu}$ se sigue de las ecuaciones de Einstein. En el caso del espacio-tiempo plano, las ecuaciones de Einstein se reducen a la teoría completamente trivial $T_{\mu\nu} \equiv 0$ . Por otra parte, la conservación de $T_{\mu\nu}$ se cumple (en el caparazón) para cualquier teoría del espacio-tiempo plano cuya acción sea invariante traslacionalmente. Ninguna hipótesis de resultado está contenida dentro de la otra.
@tparker Oh, entendí mal lo que querías decir, entonces. En ese caso, no estoy seguro de lo que cree que hay que explicar, o más bien por qué cree que la teoría de calibre tiene algo que ver con eso: las leyes de conservación del electromagnetismo no contienen derivados covariantes de calibre, ni tampoco los análogos tautológicos (y de variante de calibre) en las teorías de Yang-Mills, entonces, ¿por qué conectaría la aparición de la derivada covariante en esa ley en GR con el aspecto de calibre?
Por lo general, cuando mide una simetría global, el campo de calibre se acopla a una corriente conservada cuya expresión viene dada por la expresión de la corriente de Noether correspondiente a la simetría global original, pero con las derivadas parciales promovidas a derivadas covariantes. La ley de conservación de GR $\nabla_\mu T^{\mu \nu}$ es la expresión para la conservación de la corriente de Noether correspondiente a la invariancia traslacional global, con derivadas parciales reemplazadas por derivadas covariantes, por lo que, por analogía, parece natural suponer que la teoría podría tener alguna simetría que podría ser...
... pensado como una versión "calibrada" de la invariancia traslacional. Mi pregunta es si este es el caso, si es así, por qué no hay también una corriente conservada análoga al momento angular que vendría de "medir" la simetría de Lorentz.
@tparker Pero GR no es la versión de ninguna "teoría no medida" en la que haya reemplazado las derivadas ordinarias por derivadas covariantes. Mire la acción EH: en el formalismo tetradico, el Lagrangiano es como $\sqrt{-\det(g)(e)}e_i^\mu e_j^\nu {R_{\mu\nu}}^{ij}$ , donde la curvatura de Riemann $R$ es la curvatura del "campo de medida" que da Christoffels. Esto es manifiestamente no de la forma $\text{free} + \text{coupling to conserved current}$ , y no contiene ningún derivado covariante excepto aquellos en $R$ sí mismo (" $R = \nabla \Gamma$ "), por lo que su analogía simplemente falla.
Para aclarar, esa era exactamente mi pregunta. $\nabla_\mu T^{\mu\nu}$ parece la corriente conservada para una teoría en la que se ha medido la simetría traslacional, pero como usted dice, no hay una teoría "premedida" obvia. Estaba preguntando si hay una teoría precalibrada no obvia, o si la similitud formal es solo una coincidencia. Parece que te estás poniendo del lado de la coincidencia, pero corrígeme si me equivoco.
@tparker Sí, pero lo que también digo es que $\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$ en realidad no parece la versión calibrada de nada . Electromagnetismo/Yang Mills tiene una corriente conservada $\partial_\mu J^{\mu a} = 0$ . En ningún caso esto muta repentinamente en $D_\mu J^\mu = 0$ para la derivada covariante $D_\mu = \partial_\mu + A_\mu$ mediante cualquier procedimiento de aforo.
No estoy de acuerdo. En la teoría abeliana de calibre (sin anomalías), el teorema de Noether da $\partial_\mu J^\mu = 0$ , pero en la teoría de norma no abeliana, la corriente misma está cargada bajo el grupo de norma, por lo que el teorema de Noether da $D_\mu J^\mu = 0$ ; véase la oración en Srednicki que contiene la ecuación. (77.35).
@tparker No veo ninguna razón por la que el teorema de Noether produzca una derivada covariante que actúe sobre la corriente conservada, ya que las corrientes conservadas se derivan del primer teorema de Noether aplicado a la versión global de la simetría y no están relacionadas con la teoría de calibre (el segundo teorema de Noether porque las simetrías de calibre producen identidades fuera de la cáscara no relacionadas con la conservación), y la oración en Srednicki me desconcierta. ¿Tiene alguna referencia que derive (en lugar de solo reclamos, como lo hace Srednicki) la apariencia de este derivado covariante?
En la literatura se encuentra referencia al grupo de Poincaré (T x O) o incluso al grupo Afín (T x GL). Sin embargo, no usa el grupo de tipo afín, sino solo la parte SO o GL. De hecho, incluso toma SO en lugar de O. ¿Puede explicar por qué no necesita la parte T para obtener la relatividad general y por qué la literatura los tiene? ¿Se está perdiendo importantes comportamientos físicos al no tener las traducciones en su grupo de indicadores, o de alguna manera no importan?
@ Anon21: la parte de traducción es irrelevante en GR estándar: la intensidad de campo correspondiente es la torsión (consulte, por ejemplo, el final del capítulo 2 aquí ), que es cero para la acción EH estándar (la conexión Levi-Civita está libre de torsión). Desempeña un papel implícito en el formalismo de conexión de espín en forma de vielbein: el vielbein es el "campo de medida" para las traducciones.

Bence Racskó · Answer 2

Como complemento a la respuesta de ACuriousMind, señalaría que literalmente hay contenido cero en la invariancia de difeomorfismo o "local". $U(1)$ invariancia" o algo por el estilo.

El verdadero diablo detrás de escena es la independencia de fondo , cuando se interpreta adecuadamente.

Para cualquier sistema que consta de campos locales en una variedad, existe invariancia de difeomorfismo. La mecánica clásica es difeomorfismo-invariante. La electrodinámica clásica es difeomorfismo-invariante. Puede hacer casi cualquier cosa que use una variedad suave como invariante de difeomorfismo de arena de fondo.

Para las teorías que involucran objetos globalmente lineales (vectores de momento, etc.), esto es más difícil, porque los difeomorfismos pueden matar la estructura lineal de un espacio vectorial, pero luego puede usar campos de densidad en lugar de "cantidades integrales", que ahora son locales. campos y el problema está parcialmente resuelto.

Del mismo modo, usando QED escalar (antes de la cuantización, entonces realmente CED escalar pero con campos de materia) como ejemplo, lo mismo es cierto para la invariancia de calibre local.

Tomemos un campo complejo de Klein-Gordon

L = \partial^{m} ϕ^{†} \partial_{m} ϕ + ϕ^{†} ϕ .

$\mathcal{L}=\partial^\mu\phi^\dagger\partial_\mu\phi+\phi^\dagger\phi.$ (No me estoy molestando con las constantes).

Se puede observar agudamente que esta teoría de campo es invariante bajo condiciones globales. $U(1)$ transformaciones pero no locales, por lo que hacemos el procedimiento habitual para introducir una conexión de calibre

D_{m} = \partial_{m} + i A_{m} .

$D_\mu=\partial_\mu+iA_\mu.$

el lagrangiano

L = (D^{m} ϕ)^{†} D_{m} ϕ + ϕ^{†} ϕ

$\mathcal L=(D^\mu\phi)^\dagger D_\mu\phi+\phi^\dagger\phi$ ahora es local

U (1)

$U(1)$ -invariante.

¿Tienes electrodinámica ahora? No. Por ejemplo, en lugar de especificar un Lagrangiano para $A_\mu$ , puedes proclamar que

existe un marco de referencia interno (por ejemplo, un calibre), en el que $A_\mu=0$ .

Ahora, tiene una familia de marcos de referencia internos, en los que $D_\mu=\partial_\mu$ , y los miembros de esta familia están relacionados por transformadas de norma $e^{i\chi}$ , dónde $\chi$ es una constante, ya que sabemos que $A$ se transforma como $A'=A+\mathrm d\chi$ .

Pero siempre que sepamos que existe un marco de referencia interno de este tipo, no tenemos que apegarnos a estos marcos en absoluto. En su lugar, podemos realizar una transformación de calibre de dicho marco por $e^{i\chi(x)}$ , luego en el nuevo marco, $A'=\mathrm d\chi$ , y necesitamos usar la derivada covariante $D_\mu=\partial_\mu+i\partial_\mu\chi$ para obtener resultados sensatos.

Sin embargo, luego calculamos la forma de curvatura y obtenemos

F = d A = d d x = 0,

$F=\mathrm dA=\mathrm d\mathrm d\chi=0,$ ¡lo que demuestra que no tenemos ningún campo electromagnético! Sin embargo, nuestra teoría sigue siendo localmente

U (1)

$U(1)$ -invariante.

La verdadera diferencia ocurre cuando en lugar de especificar $A$ para ser de calibre cero o puro, hacemos $A$ dinámico e imponerle ecuaciones de campo!

Entonces podemos decir que nuestra teoría del electromagnetismo es independiente del fondo porque, aunque hay un principio $U(1)$ -paquete sobre el espacio-tiempo con una conexión Ehresmann $A$ , la geometría de este haz principal no está definida a priori, porque nuestra conexión no es fija, sino dinámica. Entonces la teoría es independiente del fondo.

Lo mismo es cierto para GR, independientemente de considerar la invariancia del difeomorfismo o los marcos móviles no paralelos absolutos. Lo que nos da la gravedad no es la invariancia del difeomorfismo o la invariancia local de Lorentz, podemos hacer difeomorfismos del espacio-tiempo de Minkowski o tomar marcos ortonormales en movimiento en el espacio-tiempo de Minkowski, y luego el espacio-tiempo de Minkowski seguirá siendo plano y sin gravedad. Lo que nos da la gravedad es especificar esta geometría de fondo como desconocida y proporcionar ecuaciones de campo que rigen su dinámica.

Si bien creo que esta respuesta es "moralmente" correcta, la gimnasia mental requiere afirmar que " $D_\mu \phi^\dagger D_\mu \phi + \phi^\dagger \phi$ es calibre invariante" y tienen $A$ no ser dinámicos son simplemente incorrectos desde un punto de vista formal: una transformación de campo, como una transformación de calibre, actúa por definición sobre las coordenadas y las variables dinámicas. Si tu lo dices $A_\mu$ se transforma bajo una transformación de calibre, entonces $A_\mu$ es dinámico o está utilizando una noción no estándar de lo que es una transformación/simetría.
@ACuriousMind Si $A_\mu$ es un campo de fondo no dinámico, entonces podemos pensar que es simplemente una determinada función de las coordenadas. Entonces, ¿no es una transformación de calibre la que transforma $A$ simplemente una transformación de coordenadas? Por otro lado, supongo que especificar cómo se transforma alguna función de las coordenadas todavía deja cierta ambigüedad en cómo se transforman las propias coordenadas.
@ACuriousMind ¿Por qué estaría mal? $A$ es una expresión local para una sección de un paquete afín sobre $M$ , y la "transformación de calibre" no es más que el efecto del cambio de marco de referencia en el representante local. $A$ es dinámico por definición si está determinado por una ecuación diferencial. Los dos conceptos no tienen ninguna relación.
@ACuriousMind Por cierto, la transformación de indicador actúa sobre una variable dinámica en mi ejemplo, que es $\phi$ . La cuestión es, $U(1)$ puede actuar localmente incluso si mantenemos la conexión fija y plana, en el sentido abstracto, tan local $U(1)$ la invariancia no implica inmediatamente que $A$ es dinámico. permite _ $A$ ser - estar.
Lo que digo es que cuando los físicos hablan de una "transformación" de una acción, o de su invariancia bajo tal transformación, dicha transformación actúa únicamente sobre las variables dinámicas . Por ejemplo, si examina las declaraciones formales del teorema de Noether, notará que considera variaciones puras de las coordenadas y los campos dinámicos (si varía algo que no es dinámico, su expresión de Lagrange correspondiente no tiene por qué desaparecer y la de Noether ( primero) el teorema no tiene razón para sostenerse). Tener $A$ transform pero no sea dinámico es inconsistente con este uso.
@ACuriousMind Esta es una interpretación terriblemente rígida de las cosas. Casi como decir que no puedes hacer transformaciones locales de Lorentz si tu vierbein (por ejemplo, tensor métrico) no es dinámico. Lo que considero una transformación de calibre es una acción a la derecha de un grupo de Lie en un paquete principal o una acción a la izquierda del mismo grupo en la fibra modelo de paquetes asociados. Tampoco requieren que exista un sistema dinámico para que tengan sentido.

Haushofer · Answer 3

Para el archivo: ver

https://www.physicsforums.com/insights/general-relativity-gauge-theory/

En resumen, al medir el álgebra de Poincaré, asume que los campos de calibre e y omega son vectores bajo gct. La restricción convencional, en la que la intensidad de campo de las traducciones se pone a cero, permite eliminar las traducciones locales. Estas traducciones locales son, después de esta restricción, simplemente una combinación lineal de LT y gct locales con parámetros dependientes del campo.

Supongo que también podría seguir la filosofía que siguen los gct de las traducciones locales después de imponer la restricción convencional.

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