Argumento sobre la falacia de Diff(M)Diff(M){\rm Diff}(M) siendo un grupo de calibre para la relatividad general

Hablaré principalmente sobre la física clásica, ya que esto ya es lo suficientemente complicado (podría mencionar algo sobre cosas cuánticas al final). Entonces, primero aclaremos todos los términos relevantes, para evitar más confusiones. En particular, debemos ser precisos acerca de lo que entendemos por invariancia porque ya se han metido dos nociones diferentes en una bolsa.

• Un grupo de simetría de un sistema físico es un grupo de transformaciones que dejan el sistema invariante. Por ejemplo, el campo eléctrico de una carga puntual es invariable bajo rotaciones respecto a ese punto. En otras palabras, queremos que el grupo actúe trivialmente. Pero eso significa que esto descarta inmediatamente cualquier ecuación que lleve índices tensoriales (es decir, se transforma en una representación no trivial del grupo de rotación). Para estas ecuaciones, si realiza una rotación, la ecuación cambiará . Por supuesto, cambiará de una manera fácilmente descriptible y un observador diferente estará de acuerdo. Pero la diferencia es crucial. Por ejemplo, en la mecánica cuántica clásica requerimos que las ecuaciones sean siempre escalares(lo que se refleja en el hecho de que el hamiltoniano se transforma trivialmente bajo el grupo de simetría).

• Llevar a cabo una acción grupal es un término más amplio que incluye ecuaciones tensoriales que hemos omitido en el punto anterior. Solo requerimos que un grupo actúe sobre las ecuaciones o estados. Tenga en cuenta que la acción del grupo no necesita tener ninguna relación con la simetría. Por ejemplo, tome la carga puntual y tradúzcala. Esto ciertamente producirá un sistema diferente (al menos si hay algún trasfondo para que podamos distinguir los puntos).

• Un grupo de indicadores de un sistema es un conjunto de transformaciones que dejan los estados invariantes. Lo que esto significa es que los estados reales del sistema son clases de equivalencia de órbitas del grupo de calibre. Explícitamente, considere la ecuación${{\rm d} \over {\rm d} x} f(x) = 0$. esto tiene solucion$g(x) \equiv C$para cualquier$C$. Pero si postulamos que el grupo calibre de la ecuación consiste en las transformaciones$f(x) \mapsto f(x) + a$luego identificamos todas las soluciones constantes y nos quedamos con una única clase de equivalencia de ellas: este será el estado físico. Esto es lo que hacen los grupos calibre en general: nos permiten tratar las clases de equivalencia en términos de sus constituyentes. Obviamente, los grupos de indicadores son completamente redundantes. La razón por la que la gente trabaja con grupos de indicadores en primer lugar es que la descripción del sistema puede simplificarse después de la introducción de estos parámetros adicionales que "ven" en la clase de equivalencia. Por supuesto, el proceso histórico fue al revés: dado que la formulación teórica de calibre es más simple, esto es lo que la gente descubrió primero y solo notaron la presencia de los grupos de calibre después.

Ahora, dicho esto, veamos el electromagnetismo (primero en el espacio plano). ¿Bajo qué simetrías son invariantes las ecuaciones de Maxwell? A uno le gustaría decir bajo el grupo de Lorentz , pero este no es el caso. Veamos esto más de cerca. Como se mencionó anteriormente, la ecuación

También tenemos${\rm d} F = 0$y por lo tanto (en un espacio-tiempo contráctil) también$F = {\rm d} A$que es obviamente invariante frente a$A \mapsto A + {\rm d} \chi$. En términos de la discusión anterior, la clase de equivalencia$A + {\rm d} \Omega^0({\mathbb R}^{1,3})$es el estado físico y la transformación de calibre nos permite distinguir entre sus constituyentes

Pasemos ahora a un espacio-tiempo curvo. Entonces nosotros tenemos

De la misma manera, GR no es invariante bajo${\rm Diff}(M)$pero solo se transforma bajo una determinada acción (aunque diferente a EM, ya que las ecuaciones GR tienen dos índices). También,${\rm Diff}(M)$posiblemente no puede ser un grupo de calibre de ninguno de estos sistemas, ya que implicaría que casi todas las configuraciones de campo posibles quedan reducidas a una única clase de equivalencia posiblemente indexada por alguna invariante topológica que no se puede cambiar mediante un difeomorfismo. En otras palabras, la teoría con${\rm Diff}(M)$ya que un grupo de calibre necesitaría ser puramente topológico sin grados de libertad locales.

Corrígeme si estoy equivocado. Las transformaciones de calibre son para cuando tienes un paquete sobre un múltiple. GR aún no tiene un paquete no trivial sobre una variedad, por lo que aún no es una teoría de calibre. Si en el futuro alguien lo modifica, puede proporcionar transformaciones de calibre de la teoría ampliada.