6 ecuaciones de campo de Einstein independientes?

Question

6 ecuaciones de campo de Einstein independientes?

Física
invariancia de calibre
sistemas coordinados
relatividad general
geometría diferencial
difeomorfismo-invariancia

anécdota

No puedo entender el comentario en la página 409, Gravitación, por Misner, Thorne, Wheeler

De ello se deduce que los diez componentes $G_{\alpha\beta} =8\pi T_{\alpha\beta}$ de la ecuación de campo no debe determinar de forma completa y única los diez componentes $g_{\mu\nu}$ de la métrica.

Lo contrario, $G_{\alpha\beta} =8\pi T_{\alpha\beta}$ debe colocar sólo seis restricciones independientes en los diez $g_{\mu\nu}(\mathcal{P})$ , dejando cuatro funciones arbitrarias para ser ajustadas por la especialización del hombre de las cuatro funciones de coordenadas $x^{\alpha}(\mathcal{P})$ .

no puedo entenderlo Creo que siempre podemos resolver la ecuación de campo con las condiciones iniciales/de contorno apropiadas para obtener $g_{\mu\nu}$ . Después de todo, esas son solo ecuaciones diferenciales de segundo orden. Para ser específico, permítanme intentar construir un contraejemplo, la ecuación de Einstein del vacío,

{GRAMO}_{m v} = 0

$G_{\mu\nu}=0$ Si aplicamos las condiciones iniciales

g_{μ ν} |_{t = 0} = η_{μ ν}

$g_{\mu\nu}|_{t=0}=\eta_{\mu\nu}$ y

{\dot{g}}_{μ ν} |_{t = 0} = 0

${\dot{g}_{\mu\nu}}|_{t=0} =0$ , obviamente el espacio-tiempo plano

g_{μ ν} = η_{μ ν}

$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ debería ser la solución. si la solucion

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ es único, ¿cuál es la solución alternativa?

Si existe una solución alternativa, ¿viene de la "especialización de las cuatro funciones de coordenadas"?

Actualización : user23660 construyó una solución alternativa explícita, que es

{gramo}_{00} = (F^{'} (t))^{2}, {gramo}_{i j} = - d_{i j}

$g_{00}=(f'(t))^2,\quad g_{ij}=-\delta_{ij}$ con otros componentes siendo cero.

La función $f$ solo necesita satisfacer $f'(0)=1,f''(0)=0$ , que hace compatible esta métrica con los datos iniciales; aparte de eso, ¡es completamente arbitrario! Y vemos que sí viene de la transformación de coordenadas $t=f(\tau)$

Para que la solución sea $\eta_{\mu\nu}$ , necesitamos poner más restricciones en la métrica directamente en este sistema de coordenadas, como $g_{00}=1,g_{0i}=0$ .

Estos grados de libertad redundantes (gauge) resultan de la identidad de Bianchi contraída, como se explica en el siguiente párrafo en MTW página 409,

{GRAMO}^{α β}_{; β} = 0

$G^{\alpha\beta}{}_{;\beta}=0$ es verdadera automáticamente, por lo que la ecuación de movimiento de los campos de materia

T^{α β}_{; β} = 0

$T^{\alpha\beta}{}_{;\beta}=0$ realmente no impone restricciones a la evolución de la métrica. Por lo tanto, ¡solo hay 6 ecuaciones independientes!

joshfísica

He leído esta pregunta (v2) 3 veces, y debo admitir que todavía no tengo claro cuál es su confusión.

anécdota

@joshphysics, lo siento, tal vez no esté redactado correctamente. Mi pregunta en términos simples es: se puede determinar

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ únicamente mediante el uso de la ecuación de Einstein? MTW afirma que no podemos

⟹

$\implies$ debe haber una solución alternativa a mi ejemplo específico, ¿cuál es?

prahar

¿Qué pasa con la solución de Schwarzschild? ¿No es esa una solución para

G_{μ ν} = 0

$G_{\mu\nu} = 0$ ? Lo siento, creo que yo, como @joshphysics, no puedo entender tu confusión.

anécdota

@Prahar, la solución de Schwarzschild no satisface la condición inicial

g_{μ ν} |_{t = 0} = η_{μ ν} = (- 1, 1, 1, 1)

$g_{\mu\nu}|_{t=0} = \eta_{\mu\nu} = (-1,1,1,1)$

anécdota

@josphysics, he reformulado mi pregunta. Lo siento, las cosas son vagas en mi cabeza y no puedo expresarlo claramente con palabras.

MBN

Por supuesto, las condiciones iniciales/de contorno apropiadas determinarán una solución única. Eso no es de lo que están hablando. Están diciendo que, en cierto sentido, las diez ecuaciones no son independientes, hay relaciones ocultas y, de hecho, solo hay seis ecuaciones independientes. Por supuesto, estoy simplificando demasiado las cosas. Los dos párrafos siguientes, así como el anterior, dan alguna explicación. Yo diría que no te preocupes demasiado.

anécdota

@MBN, las relaciones ocultas se contraen con la identidad de Bianchi como se señala en el siguiente párrafo; pero no veo por qué está relacionado con la transformación de coordenadas.

difeomorfismo

esos 4 grados de libertad están relacionados con cambios en las coordenadas del marco local. Recuerda que si giras tu verbein de un punto a otro sigues teniendo el mismo espacio físico, pero las coordenadas se etiquetan de manera diferente

Respuestas (1)

6 ecuaciones de campo de Einstein independientes?

He leído esta pregunta (v2) 3 veces, y debo admitir que todavía no tengo claro cuál es su confusión.
@joshphysics, lo siento, tal vez no esté redactado correctamente. Mi pregunta en términos simples es: se puede determinar $g_{\mu\nu}$ únicamente mediante el uso de la ecuación de Einstein? MTW afirma que no podemos $\implies$ debe haber una solución alternativa a mi ejemplo específico, ¿cuál es?
¿Qué pasa con la solución de Schwarzschild? ¿No es esa una solución para $G_{\mu\nu} = 0$ ? Lo siento, creo que yo, como @joshphysics, no puedo entender tu confusión.
@Prahar, la solución de Schwarzschild no satisface la condición inicial $g_{\mu\nu}|_{t=0} = \eta_{\mu\nu} = (-1,1,1,1)$
@josphysics, he reformulado mi pregunta. Lo siento, las cosas son vagas en mi cabeza y no puedo expresarlo claramente con palabras.
Por supuesto, las condiciones iniciales/de contorno apropiadas determinarán una solución única. Eso no es de lo que están hablando. Están diciendo que, en cierto sentido, las diez ecuaciones no son independientes, hay relaciones ocultas y, de hecho, solo hay seis ecuaciones independientes. Por supuesto, estoy simplificando demasiado las cosas. Los dos párrafos siguientes, así como el anterior, dan alguna explicación. Yo diría que no te preocupes demasiado.
@MBN, las relaciones ocultas se contraen con la identidad de Bianchi como se señala en el siguiente párrafo; pero no veo por qué está relacionado con la transformación de coordenadas.
esos 4 grados de libertad están relacionados con cambios en las coordenadas del marco local. Recuerda que si giras tu verbein de un punto a otro sigues teniendo el mismo espacio físico, pero las coordenadas se etiquetan de manera diferente

usuario23660 · Answer 1

Por supuesto, la métrica $\eta_{\mu\nu}$ no es una solución única para las ecuaciones de vacío de Einstein compatible con sus datos iniciales dados. Y sí, podemos interpretar las alternativas como derivadas de funciones de coordenadas.

Tomemos la más simple de tales funciones: redefinir el tiempo introduciendo una nueva variable 'tiempo' $\tau$ a través de una relación $t=f(\tau)$ (las coordenadas espaciales las mantendremos intactas). La métrica en nuevas coordenadas $(\tau,x,y,z)$ sería

d s^{2} = (F^{'} (τ))^{2} d τ^{2} - d_{i j} d X^{i} d X^{j} .

$ds^2=(f'(\tau))^2 d\tau^2 - \delta_{ij}dx^i dx^j.$ Es, obviamente, una métrica diferente . Y eligiendo la función

f

$f$ satisfaciendo algunas condiciones simples (

f (0) = 0

$f(0)=0$ ,

f^{'} (0) = 1

$f'(0)=1$ ,

f^{″} (0) = 0

$f''(0)=0$ ) esta métrica será compatible con sus datos iniciales.

Pero al mismo tiempo es igualmente obvio que esta métrica todavía corresponde al mismo espacio-tiempo : el espacio-tiempo de Minkowski (al menos localmente).

Adición _ Para hacer que una solución de las ecuaciones de Einstein sea única, se pueden usar condiciones de coordenadas (que son análogas a las condiciones de fijación de calibre en la teoría EM). Estos funcionan como restricciones en la métrica impuesta además de las ecuaciones de Einstein.

Además, si está interesado en datos iniciales: formulación de evolución temporal de la relatividad general, le recomiendo que consulte el formalismo ADM .

gracias por tu respuesta prueba que ${\bf g}=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$ no es único Pero si restringimos el sistema de coordenadas para que sea $(t,x,y,z)$ , crees que la solución de los componentes individuales $g_{\mu\nu}$ son unicas o no?
Ver adición. Para restringir la transformación de coordenadas de mi ejemplo para producir solo $\eta_{\mu\nu}$ puede exigir que las coordenadas sean síncronas . Pero estas son condiciones en la métrica: $g_{00} = 1$ , $g_{0i}=0$ , no solo coordenadas.
Eso es exactamente lo que estoy preguntando. Entonces, si no pongo restricciones en la métrica (es decir, no especifico el calibre), pero uso el $(t,x,y,z)$ coordinar para expresar mi solución al final, ¿es esta solución única? La solución que diste en el $(t,x,y,z)$ coordenada es la misma que $\eta_{\mu\nu}$ si se expresa en $(t,x,y,z)$ sistema coordinado.
Para la condición de calibre, en E&M, puedo cambiar el vector potencial $\vec{A}$ a $\vec{A}+\nabla \Lambda$ sin estropear los datos iniciales y las ecuaciones: esos son los grados de libertad redundantes, es decir, el calibre. Pero en este caso, ¿cómo puedes cambiar $g_{\mu\nu}$ ser una función $h_{\mu\nu}$ en el mismo sistema de coordenadas que resuelve la ecuación con el mismo condiciones iniciales?
'Especificar coordenadas' sin métrica es solo topología, por lo que las coordenadas locales siempre serían una parte de $\mathbb{R}_4$ , no hay restricciones en la métrica, por lo que no $\eta_{\mu\nu}$ no es único en ese caso.
Dependiendo de $\Lambda$ , la transformación de calibre puede cambiar los datos iniciales. Entonces, en GR, las transformaciones de coordenadas generales pueden hacer que los datos iniciales no sean válidos, pero si los restringimos para mantenerlos intactos, producirán otras soluciones. Y, por supuesto, las transformaciones de coordenadas mantendrán la misma forma de ecuaciones que, después de todo, es la covarianza general.
Estoy de acuerdo en que localmente siempre es $\mathbb{R}_4$ , no hay restricciones en la métrica localmente, matemáticamente todas esas métricas en las formas matriciales están conectadas por una transformación congruente. Tenga en cuenta que mis condiciones iniciales imponen restricciones a la métrica global , lo que debería hacer que la evolución de la métrica sea única en este sistema de coordenadas. Entonces, ¿cuál es la solución alternativa en este sistema de coordenadas si no es única?

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