¿Qué significan físicamente los polos de una función de Green?

Permítanme ampliar un poco más lo que acaba de decir Craig Thone:

Considere la función de Green dependiente de la energía/frecuencia:

$$\tilde{G}(\omega)=\frac{1}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}$$ con un solo polo en $\omega=a-\mathrm{i}b$(con $b>0$), que es la transformada de Fourier de la función dependiente del tiempo $G(t)$Función verde como: $$G(t)=\int\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}$$ Uno puede mostrar, usando un análisis complejo (eventualmente puedo mostrar algunos detalles sobre eso si es necesario), que calcula: $$G(t)=\mathrm{i}\,e^{-\mathrm{i}at-bt}\Theta(t)$$ dónde $\Theta$es una función escalonada de Heaviside.

Esto significa que :

1. la verdadera parte$a$del polo da un comportamiento oscilatorio a la solución. En el contexto de los sistemas cuánticos,$a$se refiere a menudo como una energía propia.
2. El papel la parte imaginaria$b$en doble:
   • Da un comportamiento amortiguado a la solución. En el contexto de los sistemas cuánticos,$b$describirá cómo un estado, que no es un estado propio del sistema , se agotará en función del tiempo en una superposición de estados propios. En el límite de una teoría de perturbaciones ,$b$es la misma tasa dada por la regla de oro de Fermi .
   • El hecho de que$b>0$asegura que la función$\tilde{G}(\omega)$no tiene polo en el plano complejo superior (es decir$\forall\omega\in\mathbb{C}, \Im({\omega})>0$). Este análisis de$\tilde{G}$implica por el teorema integral de Cauchy que: $$\forall t<0,\,G(t)=0$$ lo cual es necesario para asegurar la causalidad de la dinámica. Para asegurar tal propiedad, una función escalonada de Heaviside$\Theta$se puede agregar a$G(t)$.

EDITAR : Analítica de$G$y causalidad . En orden para evaluar$G(t)$por$t<0$, uno puede considerar el camino$\Gamma_R$que se define como:

$$\Gamma_R=\left\{\omega\in\mathbb{C},\,\omega\in[-R,R]\,\bigcup\,\mathcal{C}_R^0\right\}$$ dónde $\mathcal{C}_R^0$es la mitad de la circunferencia centrada en $\omega=0$con un $R$radio.

$\forall t<0,\, G(t)$viene dada por la integral:

$$\forall t<0,\, G(t)=\lim_{R\rightarrow+\infty}\int_R^{-R}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}$$ La aditividad de integrales te da entonces: $$\forall t<0,\,\int_{\Gamma_R}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}=G(t)+\lim_{R\rightarrow+\infty}\int_{\mathcal{C}_R^0}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}$$ Como no hay ningún poste en el área compleja encerrada por $\Gamma_R$( $\tilde{G}$es analítico en el plan complejo superior), el teorema integral de Cauchy te da que: $$\int_{\Gamma_R}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}=0$$ Además, el lema de Jordan asegura que: $$\lim_{R\rightarrow+\infty}\int_{\mathcal{C}_R^0}\frac{\mathrm{d}\omega}{2\pi}\frac{e^{-\mathrm{i}\omega t}}{\omega-(a-\mathrm{i}b)}=0$$ dejándote con: $$\forall t<0,\,G(t)=0$$ Tienes que darte cuenta de que esta es la razón por la que a veces ves a la gente introducir algo infinitesimal $\pm\mathrm{i}\epsilon$que empuja el polo de un propagador fuera del eje real: asegura la causalidad/anti-causalidad de la solución.

Esta es una pregunta algo amplia, porque hay varias funciones de Green diferentes en la física cuántica. Quizás la más simple es la función de Green del solvente para un sistema de una sola partícula. Su definición es

$$G(\omega^{\pm})=\lim_{\delta \rightarrow 0^+}\left[ \omega \pm i\delta - H \right]^{-1}\equiv \frac{1}{\omega\pm i\delta - H},$$ dónde $H$es el hamiltoniano. Ignorando el $\delta$, y reemplazando $\omega \rightarrow E$, puede ver cómo esto se relaciona con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: $$H\left|\psi \right>=E\left|\psi \right> \longrightarrow \left[ E - H\right]\left|\psi \right> = 0.$$ Básicamente, si aplicas el operador $G$a una solución de la ecuación de Schrödinger, $\left|\psi_n \right>$con nivel de energía $E_n$, obtienes un polo (el "denominador" desaparece) en $\omega \pm i\delta = E_n$. Eso es, $$G_{nn}(\omega^{\pm})\equiv\left<\psi_n \right|G(\omega^{\pm}) \left|\psi_n \right>=\frac{1}{\omega \pm i\delta - E_n},$$ tiene un poste. Entonces es claro que los polos de (Tr = traza) $$\mathrm{Tr}\{G(\omega^{\pm})\}\equiv\sum_{n}^{\mathrm{all\,states}}G_{nn}(\omega^{\pm}),$$ darle el espectro completo. De hecho, puedes demostrar que la cantidad (Im = parte imaginaria) $$\rho(\omega)=-\frac{1}{\pi}\mathrm{Im}\{\mathrm{Tr}\{G(\omega^+)\}\},$$ te da la densidad de estados del hamiltoniano $H$.

La función de Greens de resolución es válida para un sistema de una sola partícula, pero el concepto se adapta bien a la física de muchos cuerpos y, por lo tanto, a la teoría cuántica de campos. Sin embargo, la definición de la función de Green no es tan directa en esos casos. La función de Green está dada por la amplitud de probabilidad de que una partícula se agregue al estado de vacío a la vez$t$y estado$n$, y que después de la evolución del tiempo se eliminará en el momento$t'$y estado$n'$:

$$\mathcal{G}(t',n';t,n)=-i\left<\Phi \right|\psi_{n'}(t')\psi_n^\dagger (t) \left|\Phi \right>,$$ donde el factor de $i$aparece sólo como una convención, y $\left|\Phi \right>$representa el estado fundamental. Esta definición tiene una interpretación muy transparente, porque esta cantidad es la respuesta a la pregunta: si en el vacío cuántico, que es (para citar la frase favorita de Lawrence Krauss) "un brebaje burbujeante hirviendo de partículas que aparecen y desaparecen", una partícula fuera a aparecer en el estado de tiempo $(t,n)$, ¿cuál es la probabilidad (amplitud) de que se propague al estado de tiempo $(t',n')$? Hay varias versiones diferentes de este tipo de función de Green, cada una útil para una cosa diferente. Una cosa que todos estos tienen en común es que manejarlos de esta forma es complicado y es mucho más fácil trabajar con sus transformadas de Fourier. $$\mathcal{G}_{n'n}(\omega^{\pm})=\int\mathrm{d}(t'-t)\,\mathrm{e}^{i(\omega\pm i \delta )(t'-t)}\mathcal{G}(t',n';t,n).$$ Como puede ver, un cambio complejo $\delta$se introduce aquí, que tiene que ver con la convergencia de la integral. Este es precisamente el origen de la misma en la función de Green resolutiva. De hecho, si tiene un sistema en el que las partículas no interactúan entre sí y, en cambio, cada partícula simplemente sigue el hamiltoniano $H$con energías $\{E_n\}$, entonces puedes demostrar que $$\mathcal{G}_{n'n}(\omega^{\pm})=\frac{\delta_{n',n}}{\omega\pm i\delta - E_n},$$ y obtiene una analogía completa con la función de Green de una sola partícula, y la respuesta a la pregunta anterior es "si la partícula se crea con una energía propia del hamiltoniano y se propaga para ser aniquilada con la misma energía propia, usted obtiene un pico en la probabilidad (un polo); si no, obtiene cero".

Sin embargo, las cosas se vuelven más interesantes cuando tienes interacciones y tu hamiltoniano se vuelve$H + U$. Para ese caso, se puede demostrar que

$$\mathcal{G}_{n'n}(\omega^\pm) = \frac{1}{\omega - E_n - \Sigma_{n'n}(\omega^\pm)},$$ dónde $\Sigma_{n'n}(\omega^\pm)$se llama energía propia, y la ecuación anterior se llama ecuación de Dyson. En muchos casos, esto tendrá una forma simple cuando calcule específicamente $\mathcal{G}_{nn}$: $$\mathcal{G}_{nn}(\omega) = \frac{1}{\omega - (E_n + \Lambda(\omega) ) - i \Gamma_{n}(\omega) }.$$ Esto tiene un significado muy simple, cuando lo comparas con el caso de no interacción: primero, si ignoras el $\Gamma$, tienes que debido a las interacciones el polo se ha movido de $E_n$a $E_n + \Lambda$. Entonces, si consideras $\Gamma$, encontrará que el poste no es infinitamente "estrecho", sino que tiene un ancho $\approx \Gamma$. De hecho, esta expresión no es más que un tipo de distribución de Lorentz. Básicamente, debido a las interacciones, su nivel de energía ya no se vive infinitamente, sino que ahora decae en el vacío en una escala de tiempo dada por $\hbar/\Gamma$. $\Gamma$a veces se denomina tasa de dispersión o tasa de decaimiento. Pero debido a que todavía existe una analogía con la función de Green del resolvente, se dice que este estado, que tiene un tiempo de vida finito, es un estado de energía para una nueva partícula --- una cuasi-partícula --- que emerge del sistema interactuante.

El polo de la función de Green está relacionado con el espectro de la partícula que se propaga. Una dimensión por ejemplo

$$\tilde{G}(\omega)= \frac{i}{\omega-(\epsilon+i\Gamma)}$$ Si es puramente real, G(t) es alguna función de oscilación que muestra que la partícula es estable. Si es puramente imaginario, G(t) tiene algún comportamiento de decaimiento exponencial que muestra que la partícula es inestable.