¿Polos físicos en amplitudes de dispersión QFT?

La amplitud de dispersión se puede obtener en QFT a partir de la$n$-punto Función de Green por la fórmula de reducción LSZ. El$n$La función de -point Green es una función de correlación de una cadena de campos:

Ahora, podemos factorizar el orden del tiempo usando la función theta , dando términos como:

La idea es esa idea muy antigua en la mecánica cuántica cuando insertamos el operador de identidad$I$en una representación dada:

donde el primer término es proyector de estados de una partícula y$...$son proyectores de estados de múltiples partículas. Manteniendo solo los términos de una partícula, tenemos:

obtenemos una factorización de la función de correlación en dos partes, conectadas solo por la función theta. Para solucionar esto, podemos usar la simetría de traslación para hacer:

y bajo estas nuevas variables la función theta se convierte en:

utilizando la representación de Fourier:

ahora podemos realizar la integración sobre$x_1$,$x_{r+1}$y$p$. Algo delta Dirac aparecerá haciendo cumplir la conservación del impulso entre los dos blobs y un delta adicional haciendo cumplir$\omega$siendo igual a la energía transferida entre las gotas menos la energía$E_p$del estado de una partícula. Entonces, el palo$(\omega +i\varepsilon)^{-1}$que proviene de la función theta dará lugar a un polo$(q^{0}-E_p+i\varepsilon)^{-1}$dónde$q^0$es la energía transferida entre las gotas.

Alrededor del polo, podemos hacer$(q^{0}-E_p+i\varepsilon)^{-1}\rightarrow 2E_p (q^2+m^2-i\varepsilon)^{-1}$, con$\vec{q}=\vec{p}$. El término$2E_P$es absorbida por las integrales para formar una medida invariante relativista. Así es el palo$(q^2+m^2-i\varepsilon)^{-1}$aparecer.

Ahora veamos el residuo. Después de la fórmula de reducción LSZ, el residuo será precisamente el producto de dos nuevas amplitudes:

dónde$q=q_1+...+q_r=-(q_{r+1}+...+q_{n})$. Esto significa que tenemos un polo sean cuales sean las amplitudes$A(q,q_2,...,q_r,p)$y$A(q,q_{r+2},...,q_n)$son distintos de cero.

Para obtener una explicación y un cálculo más detallados, consulte Weinberg, QFT, volumen 1 , capítulo 10.

Resulta que la respuesta es bastante simple en$\phi^3$teoría. Teniendo en cuenta la dispersión a nivel de árbol por simplicidad, los polos solo pueden aparecer en una amplitud siempre que un denominador en un propagador llegue a cero. En la teoría sin masa, un propagador parece$1/p^2$donde cualquiera$p$está determinada por la conservación del impulso en cada vértice de acuerdo con las reglas de Feynman.$\phi^3$solo tiene 3 vértices, lo que asegura que$p=p_{i_1}+p_{i_2}+...$es siempre un conjunto de momentos externos adyacentes en un diagrama de Feynman correspondiente.