Prueba de una ecuación de ordenamiento temporal en Negele & Orland (1998)

Pista

$\int_0^t \int_0^{t_1} dt_1 dt_2 \, a(t_1) a(t_2) = \frac{1}{2!} \int_0^t\int_0^t dt_1 dt_2\, \mathcal{T}\{ a(t_1) a(t_2) \}$

Etcétera. Puedes ver esto al notar que la región de integración (cuadrada) en la segunda integral se puede dividir en dos regiones de integración triangulares como en la primera integral. Esta es una forma de definir la integración ordenada en el tiempo.

Editar: Un poco más a tu pregunta. Puedes considerar

$\mathcal{T} \left\{ e^{\int_0^t\!dt\, H(t)} \right \}$

ser el producto

$\mathcal{T} \left\{ e^{H(0) \Delta t} \, e^{H(\Delta t) \Delta t} \, e^{H(2\Delta t) \Delta t} \dots e^{H(t) \Delta t}\right \}$donde convertimos la integral en una suma de Riemann y factorizamos la exponencial de una suma en un producto de exponenciales. Ahora, una vez que agregue otro objeto en el orden del tiempo, por ejemplo$A(t_1)$, simplemente se desliza más allá de la mayor cantidad de estos elementos en el producto hasta que encuentra el lugar correcto. P.ej

$\mathcal{T} \left\{ e^{H(0) \Delta t} \, e^{H(\Delta t) \Delta t} \, e^{H(2\Delta t) \Delta t} \dots A(t_1) \dots e^{H((N-1)\Delta t)} e^{H(t) \Delta t}\right \}$

Entonces todo lo que queda (todo a cada lado de$A(t_1)$se puede factorizar de nuevo en exponenciales de sumas, es decir, exponenciales de integrales. Repita según sea necesario.

Espero que eso ayude.

Sugerencias para la pregunta (v1):

1. Recuerde que el orden del tiempo del operador es simétrico

   $$\tag{1}T[A_1(t_1)\ldots A_n(t_n)]~=~T[A_{\pi(1)}(t_{\pi(1)})\ldots A_{\pi(n)}(t_{\pi(n)})],$$ dónde$\pi\in S_n$es una permutación. (Aquí asumimos por simplicidad que todos los operadores son pares de Grassmann. De lo contrario, habrá factores de signo adicionales).

2. Recuerda que si$t_1> \ldots >t_n$, entonces se define la ordenación del tiempo del operador

   $$\tag{2}T[A_1(t_1)\ldots A_n(t_n)]~:=~A_1(t_1)\ldots A_n(t_n).$$

3. Se vuelve un poco técnico explicar y trabajar con la regla de ordenación del tiempo$T[A_1(t_1)\ldots A_n(t_n)]$cuando un subconjunto de los tiempos$t_1,\ldots, t_n$, pasa a ser exactamente igual. Por supuesto, en este caso, los operadores$A_1(t_1)\ldots A_n(t_n)$debe ser simetrizado en un sentido apropiado.

4. Ampliar la definición de ordenamiento temporal$T[A_1(t_1)\ldots A_n(t_n)]$por multilinealidad.

5. Para evitar ese punto técnico 3, discretemos el tiempo. Más precisamente, supongamos que los tres operadores diferentes de OP$H(t)$,$A(t)$, y$B(t)$viven en tres discretizaciones de tiempo diferentes, de modo que dos operadores diferentes nunca se toman exactamente en el mismo instante. (Que, por ejemplo, un poder de$H(t)$aparece al mismo tiempo$t$no importa, ya que$H(t)$conmuta consigo mismo, por lo que podemos ignorar el procedimiento de simetrización del punto 3 sin introducir errores). De esa manera, podemos ordenar fácilmente en el tiempo cualquier expresión del operador de$H(t)$,$A(t)$, y$B(t)$, solo conociendo las reglas de ordenación de tiempos desiguales (1)-(2).

6. En la identidad buscada de OP, reemplace las integraciones de tiempo$\int\! dt$con sumas discretas apropiadas$\sum$de operadores que viven en sus respectivas subredes de tiempo. La versión discretizada correspondiente de la identidad buscada de OP se convierte en una identidad trivial, ya que LHS se define como RHS.

7. Al final del cálculo, tome el límite continuo donde la constante de red llega a cero y las sumas se vuelven integrales nuevamente. Argumentan que la identidad se sigue manteniendo.

Acepté la respuesta de lionelbrits porque ya lo descubrí con su sugerencia de "deslizar el operador". Escribiré ahora una versión más detallada para otros que estén interesados ​​en la identidad pero no puedan entenderlo.

En primer lugar, aconsejo al lector la lectura de Galindo y Pascual, Tomo I, p. 70ff (2012) para ver cómo se introduce la ordenación temporal y cómo Lionelbrits llega a su primera ecuación (o versiones generales de la misma).

Ahora, veremos la expresión con un solo operador,$T\left[\exp\left(-i \int_{0}^{t}H(t') dt' \right) A(\tau)\right]$y$t_i=0, t_f=t$. Creo que el argumento también funciona para más operadores, pero será más opaco y engorroso escribirlo en un foro en línea. El término de orden n de la expresión anterior es de la forma

$$\frac{(-i)^n}{n!} \int_0^t d\tau_1 \ldots \int_0^t d\tau_n T[H(\tau_1)\cdots H(\tau_n) A(\tau)] .$$

Para aplicar el$T$-operador, definimos$t_1 =\tau_1, \ldots, t_n=\tau_n, t_{n+1}=\tau$y$A_1 = H(t_1), \ldots, A_n =H(t_n), A_{n+1}=A(t_{n+1})$. Entonces por la definición de$T$tenemos

$$T[A_1 \ldots A_{n+1}] = \sum_{\pi} \theta(t_{\pi_1}-t_{\pi_2}) \theta(t_{\pi_2}-t_{\pi_3})\ldots \theta(t_{\pi_n}-t_{\pi_{n+1}}) A_{\pi_1}\ldots A_{\pi_{n+1}} .$$ No nos importa el caso de tiempos iguales, porque las regiones de integración correspondientes tienen medida 0 (argumento típico de los físicos). en el caso de que $t_{\pi_k} = \tau$, la integración solo no se desvanece en la región $t_{\pi_1} > t_{\pi_2} > \ldots > \tau > t_{\pi_{k+1}} > \ldots > t_{\pi_{n+1}}$. Hay $n!$tales permutaciones para fijo $k$. Además, por cada sumando en la suma (es decir, por cada permutación $\pi$), cambiamos el orden de integración en consecuencia (suponemos que podemos) y volvemos a etiquetar las variables de integración $d\tau_{\pi_1} \rightarrow d\tau_1$, etc. Así llegamos al siguiente resultado para el término de orden n-ésimo $$(-i)^n \left[ A(\tau) \int_0^t d\tau_1 \int_0^{\tau_1}d\tau_2\ldots \int_0^{\tau_{n-1}}d\tau_n H(\tau_1)\ldots H(\tau_n) \\ + \int_\tau^t d\tau_1 H(\tau_1) A(\tau) \int_0^{\tau}d\tau_2 \int_0^{\tau_2}d\tau_3 \ldots \int_0^{\tau_{n-1}}d\tau_n H(\tau_2)\ldots H(\tau_n) \\ + \int_{\tau}^t d\tau_1 \int_{\tau}^{\tau_1}d\tau_2 H(\tau_1) H(\tau_2) A(\tau) \int_0^{\tau}d\tau_3 \ldots \int_0^{\tau_{n-1}}d\tau_n H(\tau_3)\ldots H(\tau_n)\\ + \ldots \right] ~.$$ El factor $1/n!$cancela porque para cada posición de $A(\tau)$hay $n!$integrales que dan el mismo resultado. Podemos simplificar la expresión usando el ordenamiento temporal nuevamente y obtener $$A(\tau) \frac{(-i)^n}{n!} \int_0^t d\tau_1 \ldots \int_0^t d\tau_n T[H(\tau_1) \ldots H(\tau_n)] \\ + \frac{-i}{1!} \int_\tau^t d\tau_1 H(\tau_1) A(\tau) \frac{(-i)^{n-1}}{(n-1)!} \int_0^\tau d\tau_2 \ldots \int_0^\tau d\tau_n T[H(\tau_2)\ldots H(\tau_n)] \\ + \frac{(-i)^2}{2!} \int_\tau^t d\tau_1 \int_\tau^t d\tau_2 T[H(\tau_1) H(\tau_2)] A(\tau) \frac{(-i)^{n-2}}{(n-2)!} \int_0^\tau d\tau_3 \ldots \int_0^\tau d\tau_nT[H(\tau_3)\ldots H(\tau_n)] \\ + \ldots .$$ Ahora, creo que está claro que este es uno de los términos que uno obtiene si uno calcula $T \left[\exp\left(-i \int_\tau^t H(t')dt'\right)\right] A(\tau) T \left[ \exp\left(-i \int_0^\tau H(t')dt'\right) \right]$. Entonces, si sumamos los términos correctos de esta expresión, obtenemos el término de orden n de nuestra primera expresión. Resumir todo da la identidad buscada.