¿Es la renormalizabilidad solo un problema en la teoría de perturbaciones?

La renormalización va más allá de simplemente eliminar infinitos de un cálculo; hay una razón por la que surge este problema en primer lugar, y es el hecho de que el acoplamiento cambia con la escala.

De hecho, esencialmente todos los parámetros de una teoría dependen de alguna manera de la escala de energía de un proceso que se está considerando, como también las masas. La dependencia y la forma en que la teoría se va a comportar con los cambios de escala está codificada en el flujo del grupo de renormalización.

Tampoco es válido simplemente para un orden específico en la teoría de perturbaciones. No se ha logrado con muchas otras teorías, pero para super-Yang Mills, tenemos la función beta exacta,

$$\beta(\alpha) = -\frac{\alpha^2}{2\pi} \left[3T_G - \sum_i T(R_i) (1-\gamma_i)\right] \left(1-\frac{T_G\alpha}{2\pi} \right)^{-1}$$

dependiendo de algunos parámetros teóricos de grupo, debido a Novikov et al. Por lo tanto, en teoría podemos predecir el cambio exacto en la constante de acoplamiento al pasar de una escala de energía a otra y esto debe entenderse como algo físico, no como una herramienta de cálculo; observaríamos que, de hecho, el acoplamiento es diferente en el experimento.

Ahora, uno puede argumentar que dado que este problema es sobre la constante de acoplamiento, tal vez haya alguna arbitrariedad asociada con él, con el método perturbativo como usted dice. Sin embargo, el acoplamiento no ha sido introducido artificialmente como un parámetro 'pequeño' para poder hacer teoría de perturbaciones, la noción de acoplamiento se remonta a la mecánica clásica, y no se inserta artificialmente, sino que es una necesidad hasta donde sabemos para describir la teoría.

No, no lo es. La renormalizabilidad es básicamente una posibilidad de definir la QFT en el espacio-tiempo continuo porque la física de larga y corta distancia está desacoplada.

Las divergencias UV, que en realidad son ambigüedades UV, son una consecuencia general de la definición ingenua de la QFT en el espacio-tiempo continuo. Si intenta, por ejemplo, escribir el hamiltoniano no perturbativo en la teoría de interacción, surgirán como potencias de$\delta$-funciones que son objetos mal definidos. De manera similar, puede intentar definir la integral de trayectoria y encontrar que hay ambigüedades en la definición de la medida. Se puede completar su definición de infinitas formas que corresponden a la libertad de regularización de los espaciotiempos continuos. En general esta ambigüedad no desaparece y hay que introducir una infinidad de parámetros.

Por ejemplo, puede introducir una red y cuantificar alguna teoría sobre la red. Sin embargo, cuando considera el límite continuo, no hay absolutamente ninguna garantía de que su modelo olvide todos los detalles de la red (por ejemplo, si era rectangular o hexagonal, etc.). Además, en términos generales, no se olvidará.

Sin embargo, cuando considera los flujos de RG, sucede que algunos de ellos se concentran en IR cerca de ciertos subespacios de dimensión finita del espacio teórico. Entonces, los QFT que corresponden a esos subespacios de dimensión finita olvidan todos los detalles sobre UV, excepto el número finito de parámetros. Esas son teorías renormalizables.