¿Podemos definir un conjunto que contenga todos los conjuntos dentro de ZFC y luego probar que no existe?

Actualmente estoy leyendo "Elementos de la teoría de conjuntos" de Herbert B. Enderton. El primer teorema probado en el libro establece:

No hay un conjunto al que pertenezcan todos los conjuntos.

Pero ¿no es cierto que la frase "conjunto al que pertenece todo conjunto" ni siquiera puede formularse dentro de una teoría? Según el esquema axiomático de especificación (también llamado esquema axiomático de separación o de comprensión restringida) se puede definir un nuevo conjunto únicamente mediante la siguiente fórmula:

∀ z ∀ w 1 ∀ w 2 … ∀ w norte ∃ y ∀ X [ X ∈ y ⇔ ( ( X ∈ z ) ∧ ϕ ) ]

En otras palabras, cualquier conjunto nuevo y puede definirse sólo como un subconjunto de algún otro conjunto ( z en la fórmula). Entonces, ¿cómo podemos definir un conjunto que contenga todos los demás conjuntos bajo esta restricción?

Entonces, mi preocupación no es probar que el "conjunto que contiene todos los conjuntos" no existe, sino el hecho de que demostramos la existencia (no existencia) de algo que no puede formularse en términos del lenguaje de la teoría. Parece que intentamos demostrar dentro de ZFC que existen los "gatos". ZFC no sabe lo que es un "gato".

La formula ∃ X ∀ y ( y ∈ X ) parece bien formado

Respuestas (2)

La afirmación del lenguaje natural "no hay un conjunto de todos los conjuntos" se formaliza en la teoría de conjuntos como

¬ ∃ X ∀ y ( y ∈ X ) ,
o tal vez más legible
∀ X ∃ y ( y ∉ X ) .

(Tenga en cuenta que en Z F C todas las cosas son conjuntos, por lo que "es un conjunto" es solo una frase ficticia).

Parece estar confundido acerca del papel de los axiomas, por ejemplo, cuando escribe

Según el esquema axiomático de especificación (también llamado esquema axiomático de separación o de comprensión restringida) se puede definir un nuevo conjunto únicamente mediante la siguiente fórmula [...].

Los axiomas no son creativos , son descriptivos : en ningún sentido generan los objetos que existen, simplemente nos dicen cómo deben comportarse esos objetos. Los axiomas de separación no dicen que cada conjunto deba crearse de cierta manera, simplemente describen ciertos tipos de conjuntos que están garantizados para existir. Y los axiomas ciertamente no afectan lo que podemos definir ; eso es solo una cuestión de idioma, no tiene nada que ver con los axiomas en juego.

Lo siguiente podría ayudar:

Podemos expresar la propiedad de ser un conjunto universal en el lenguaje de la teoría de conjuntos mediante la fórmula

υ ( X ) : ∀ y ( y ∈ X ) .
El Z F C los axiomas implican posteriormente que no existe un conjunto universal, es decir, tenemos
Z F C ⊢ ∀ X ¬ υ ( X ) .
Diferentes sistemas de axiomas pueden producir diferentes resultados específicos, por ejemplo, la teoría alternativa de conjuntos norte F tu demuestra que hay un conjunto universal, y norte F tu tiene una fuerza de consistencia estrictamente más débil que Z F C .

Escribes "en ningún sentido generan los objetos que existen" y luego escribes "simplemente describen ciertos tipos de conjuntos que están garantizados para existir". A mí me parece una contradicción. ¿Podría por favor ayudarme a averiguar dónde estoy confundido?
@Roman Otra forma de decirlo es que los axiomas de especificación, reemplazo, unión, emparejamiento, conjuntos de potencia e infinito nunca especifican que no exista ningún conjunto. Y la ausencia de un axioma que especifique la existencia de un conjunto no significa que el conjunto no exista. No hay ninguna regla o principio que diga: "Si los axiomas no dicen que existe un conjunto, entonces ese conjunto no existe".
@Roman Las únicas razones posibles por las que podemos concluir que un conjunto no existe son si (1) los axiomas de ZFC establecen explícitamente que no existe, o (2) la existencia del conjunto sería una contradicción lógica en sí misma. (Un ejemplo del último tipo de conjunto sería un conjunto que contiene un elemento pero que tampoco contiene elementos. Esa es una contradicción lógica, por lo que sabemos que dicho conjunto no puede existir, incluso sin usar ninguno de los axiomas de ZFC. )
@Roman Es cierto que la mayoría de los axiomas de ZFC tienen la forma "Dado esto y aquello, existe un conjunto tal que ...", y al usar el Axioma de extensión, el conjunto postulado se determina de manera única; esto nos permite y nos motiva a acuñar notaciones adecuadas para el conjunto dado por el axioma (por ejemplo, { a , b } o ⋃ a o PAG ( a ) o { X ∈ a ∣ ϕ ( X ) } o { F ( X ) ∣ X ∈ a } para determinados conjuntos existentes por Par, Unión, Powerset, Comprensión, Reemplazo). Sin embargo, Infinity, Foundation y Choice también afirman la existencia de ciertos conjuntos con propiedades específicas (cont.)
(cont) (e incluso Extensión lo hace cuando se escribe como ∃ X ( a = b ↔ ( X ∈ a ↔ X ∈ b ) ) , pero no son únicos, es decir, no existe el conjunto inductivo, ni la función de elección, ni el conjunto testigo de igualdad. Sabemos que existe algún conjunto de este tipo, pero a priori no podemos poner nuestras manos sobre un conjunto específico de este tipo. En otras palabras, la "naturaleza constructiva" de los otros axiomas es más o menos coincidente

La respuesta de Noah es suficiente para ZFC. Pero incluso en un sistema fundamental con conjuntos y no conjuntos que tiene axiomas similares a ZFC (por ejemplo, ZFA), su argumento aún es defectuoso. La oración "no hay un conjunto al que pertenezcan todos los conjuntos" se traduce obviamente y directamente a "¬∃S∈Set ∀T∈Set ( T∈S )". Absolutamente nada en esto hace ninguna afirmación sobre la existencia de un conjunto de todos los conjuntos. Aquí "Conjunto" denota una especie, no un conjunto. De hecho, la afirmación es que no existecualquier conjunto de este tipo. En FOL simple, los cuantificadores no tienen restricciones y abarcan todo el dominio. En FOL de ordenación múltiple, cada cuantificador se extiende sobre un tipo específico de objetos. Por ejemplo, un espacio vectorial se puede axiomatizar fácilmente como una estructura de 2 tipos con un tipo para vectores y el otro para escalares. Puede traducir FOL de ordenación múltiple en FOL simple mediante el uso de un símbolo de predicado para cada ordenación, por lo que la expresividad adicional en realidad no importa.

Como señaló Noah, "el conjunto al que pertenece cada conjunto" es una propiedad, no un conjunto, y se puede capturar en ZFC mediante una fórmula adecuada con un parámetro. Quiero señalar además que cada oración sobre una teoría de conjuntos está llena de cuantificadores sobre conjuntos en primer lugar, y ni siquiera hay necesidad de parafrasear ninguno de ellos en términos de propiedades. Por ejemplo, "por cada conjunto S , T hay un conjunto al que pertenece un objeto si y solo si pertenece a S o T " es una oración perfectamente buena que usa el mismo tipo de redacción, y solo debes traducirla usando cuantificadores.

Además, lo que Noah quiere decir con "conjunto" como frase ficticia en ZFC es que, en realidad, ninguno de los axiomas de ZFC dice nada sobre "conjuntos". Más bien, todos sus cuantificadores abarcan todo el universo (previsto). Y sea lo que sea ese universo, no lo es.realmente especificado por ZFC. ZFC axiomatiza lo que algunas personas creen que son declaraciones FOL significativas cuando los cuantificadores se interpretan en un rango de "conjuntos". (De hecho, hay una cantidad sustancial de suposiciones filosóficas que subyacen a algunos axiomas de ZFC). Por lo tanto, los axiomas de ZFC en sí mismos no tienen sentido técnico; sólo después de haber interpretado que se trata de "conjuntos" se convierten en afirmaciones sobre "conjuntos". Comparar con la teoría FOL de grupos; ninguno de los axiomas dice nada sobre "elementos", y solo tienen sentido cuando interpretas sus cuantificadores para abarcar los elementos de un grupo real e interpretas que el símbolo de función binaria es la operación binaria real en ese grupo.

¿Podemos definir un conjunto que contenga todos los conjuntos dentro de ZFC y luego probar que no existe?
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