Existencia de una torre de extensiones conservadoras de ZFC (así como NBG)

Question

Existencia de una torre de extensiones conservadoras de ZFC (así como NBG)

lógica
teoría de conjuntos
Matemáticas
teoría de modelos
lógica de primer orden

Jean-Pierre de Villiers

Brevemente, mi pregunta es sobre si existen extensiones conservadoras de $T_0\colon=\mathbf{ZFC}$ otro que $T_1\colon=\mathbf{NBG}$ , específicamente extensiones de $\mathbf{NBG}$ obtenido de una manera similar a la extensión de $\mathbf{ZFC}$ a $\mathbf{NBG}$ , que se aclarará en breve. Creo que es mejor dejar nuestras variables sin clasificar, para mayor claridad y para evitar notaciones engorrosas.

Para aclarar mi comentario sobre los medios de extensión, identificando idiomas con su conjunto de fórmulas, $\mathbf{NBG}$ es una extensión en la expansión del lenguaje habitual $\mathcal{L}_0=\mathrm{L}(\epsilon)$ de la teoría de conjuntos (identificando lenguajes con su conjunto de fórmulas) al lenguaje $\mathcal{L}_1=\mathrm{L}(\epsilon,\mu_0)$ y entre los axiomas de $\mathbf{NBG}$ es la frase $\forall x(\varphi_0(x)\leftrightarrow\exists y(x\in y))$ . Por lo tanto, me refiero a un enfoque similar al agregar a $\mathcal{L}_0$ símbolos de relación unaria $\mu_\alpha$ para cada $\alpha<\beta$ y algunos ordinales $\beta$ añadiendo axiomas similares al anterior.

No hace falta decir que al pasar de $T_0$ a $T_1$ , para cada $\mathcal{L}_0$ -oración $\sigma$ si su relativización a $\mu_0(v)$ es $\sigma^{\mu_0(v)}$ ( $v$ no ocurriendo en $\sigma$ por supuesto) entonces queremos (y tenemos)

T_{0} ⊨ σ ⟺ T_{1} ⊨ σ^{m_{0} (v)}

$\begin{equation} T_0\models\sigma \quad\iff\quad T_1\models\sigma^{\mu_0(v)} \end{equation}$

Para agregar algo de terminología por conveniencia, (también) refiérase a los conjuntos como $0$ -clases, clases como $1$ -clases y $\alpha$ -clases para objetos pertenecientes al dominio del discurso de la teoría $T_\alpha$ , hasta el ordinal $\alpha$ para el cual esto es posible o no para cada ordinal $\alpha$ . ¿Es esto al menos posible para todos $\alpha<\omega$ o incluso $\alpha=\omega$ ? En caso de que no quede claro, me gustaría que

T_{α} ⊨ \forall X (m_{γ} (X) \to m_{d} (X)), cuando sea γ < d < α .

$\begin{equation} T_\alpha\models\forall x(\mu_{\gamma}(x)\rightarrow \mu_{\delta}(x)),\quad\text{whenever }\gamma<\delta<\alpha. \end{equation}$

noah schweber

Ambos "

L_{i}

$L_i$ " y "

Σ_{i}

$\Sigma_i$ La notación aquí choca con la notación relevante existente, a saber, la jerarquía construible y la jerarquía de Levy, respectivamente.

Vergilio

Tenga en cuenta que ha escrito "conservador" en lugar de "conservador" en el título.

Jean-Pierre de Villiers

@NoahSchweber Lo editaré entonces

Jean-Pierre de Villiers

@NoahSchweber ¿Son suficientes los nuevos cambios?

Respuestas (1)

Existencia de una torre de extensiones conservadoras de ZFC (así como NBG)

Ambos " $L_i$ " y " $\Sigma_i$ La notación aquí choca con la notación relevante existente, a saber, la jerarquía construible y la jerarquía de Levy, respectivamente.
Tenga en cuenta que ha escrito "conservador" en lugar de "conservador" en el título.

noah schweber · Answer 1

Sí, podemos hacer esto al menos a través de los ordinales computables (mucho más allá $\omega$ ). Aquí se describe una forma de hacerlo ; básicamente, la idea es tener nivel $\alpha$ parece $L_\alpha(M)$ para algunos $M\models ZFC$ (análogamente a cómo la conservatividad de $NBG$ encima $ZFC$ es mostrar que $L_1(M)$ es un modelo de $NBG$ cuando sea $M\models ZFC$ .

(Tenga en cuenta que aquí estoy usando $L_\eta$ para denotar el $\eta$ th nivel de la jerarquía construible , no como la has usado).

Algo relacionado con esta pregunta. ¿Por qué los teóricos de categorías quieren que existan (incontables) universos de Grothendieck si, en cambio, podrían trabajar en una extensión conservadora adecuada de ZFC?
@Jean-PierredeVilliers Estas extensiones conservadoras no le compran todo lo que desea: iterar el operador de conjunto de potencia definible no se comporta como iterar el operador de conjunto de potencia. P.ej $V_{\omega+1}$ tiene todos los números reales en $V$ pero no obtenemos todos los números reales en $L$ hasta $L_{\omega_1}$ . Los universos de Grothendieck proporcionan propiedades de cierre mucho más fuertes y si tratamos de agregar esas propiedades de cierre a esta construcción, perdemos conservatividad. Ahora, por supuesto, en muchas (¿la mayoría?) de las situaciones, los universos son innecesarios, pero, quizás sorprendentemente, a veces son realmente necesarios: (continuación)
por ejemplo, aquí tenemos un resultado de consistencia relativo a una gran suposición cardinal (dos cardinales inaccesibles) pero actualmente no sabemos cómo deshacernos de esa fuerza de consistencia.
¿Significa esto que un teórico de categorías serio también debería estar bien versado en alguna teoría de conjuntos seria? Ahora solo estoy haciendo un curso de teoría básica de categorías, así que, naturalmente, estas preguntas no surgen. Lo pregunto porque estoy muy interesado en especializarme en la teoría de conjuntos (de qué sabor aún no estoy seguro, aunque supongo que uno no tiene que encasillarse por completo).
@Jean-PierredeVilliers Quiero decir, todos deberían estar bien versados en una teoría de conjuntos seria :) Más en serio, la teoría de conjuntos relevante casi siempre puede tratarse como una caja negra; las excepciones son si $(1)$ desea optimizar la "sobrecarga axiomática" (por ejemplo, prefiere activamente ZFC a ZFC + Universos) o $(2)$ está trabajando en algunas de las áreas más recónditas (por ejemplo, mi impresión es que las categorías accesibles son un tema de este tipo). Mi sugerencia sería centrarse primero en la teoría de categorías y luego, en función de lo que encuentre interesante, puede decidir cuánto le importa la teoría de conjuntos.
¿estás insinuando, en tu respuesta anterior, que uno se topa con un obstáculo en el caso de los ordinales? $\alpha\geq\chi_1\colon=\sup\{\gamma\in\textit{Ord}\colon\gamma\text{ is computable}\}$ ?

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