Las teorías de máxima consistencia tienen subteorías contables completas en cada sublenguaje contable.

Dada una teoría máximamente consistente T en un idioma L , demuestre que, para cada numerable L 0 ⊆ L , hay un T 0 ⊆ T eso es completo

Tengo un intento de solución, pero no parece usar la condición contable y parece demasiado fácil.

Suponer L 0 ⊆ L . Dejar T 0 := { φ ∈ T : φ ∈ L 0 } . Entonces por cada φ ∈ L 0 , cualquiera T ∪ φ o T ∪ ¬ φ es consistente, lo que implica φ ∈ T o ¬ φ ∈ T lo que significa φ ∈ T 0 o ¬ φ ∈ T 0 y por lo tanto T ⊢ φ o T ⊢ ¬ φ .

Esto parece demasiado fácil, sin embargo, y no utiliza el hecho de que L 0 es contable. ¿Alguien puede verificar mi prueba, por favor? ¡Gracias!

Eso es correcto, de manera más general, si T es máximamente consistente L -teoría y L 0 es un sublenguaje de L , entonces T 0 := T ∩ L 0 es máximamente consistente L 0 -teoría. ¿Estás seguro de que has copiado correctamente el problema?
Esta es la declaración exacta: "Que T Sea una teoría máximamente consistente. Demuestra que para cada numerable L 0 ⊆ L ( T ) existe T 0 ⊆ T completa en L0".
Sí, eso es tonto. ¿Quizás el instructor/texto cometió un error tipográfico? No tengo ni idea.
La única conjetura que tengo: ¿su texto incluye la satisfacibilidad como parte de la definición de integridad? Si es así, hay una pequeña diferencia aquí: es más fácil probar el teorema de completitud para lenguajes contables que para lenguajes arbitrarios (y de hecho el primero es demostrable en Z F solo, mientras que el último requiere cierta cantidad del axioma de elección), y su profesor puede estar demostrando el teorema de completitud demostrándolo primero para teorías contables y luego elevándolo a teorías arbitrarias. Eso sería realmente extraño, pero al menos no sería totalmente tonto.
No, estamos usando T es completa si es consistente y para cada φ , T la prueba o su negación. Y T es máximamente consistente si es consistente y no tiene una extensión apropiada consistente. ¿Supongo que es raro entonces?
Sí. ¿Es este un ejercicio de un texto (si es así, de qué texto?) o un instructor preparó este? Si es lo último, recuerde que los instructores son humanos: es posible que solo hayan tenido un momento tonto.
He convertido mis comentarios en una respuesta, en base a sus respuestas.
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Ese no soy yo lo siento.
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Respuestas (1)

Sí, el problema tal como está formulado es exactamente tan simple como parece. De hecho, has probado más (como has observado):

Si T es máximamente consistente L -teoría entonces para cada sublenguaje L 0 ⊆ L la subteoria T ∩ S mi norte t ( L 0 ) es máximamente consistente L 0 -teoría.

Sin embargo, vale la pena señalar que hay una sutileza que surge con respecto a: lenguajes contables frente a incontables con respecto a la satisfacibilidad . Es decir, la declaración "toda teoría consistente en un lenguaje contable tiene un modelo" es demostrable en la teoría de conjuntos sin el axioma de elección (y de hecho podemos reemplazar "contable" con "bien ordenable"), pero el teorema de completitud total no es . Entonces el siguiente es un teorema no trivial:

( Z F ): Si T es un consistente L -teoría y L 0 es un sublenguaje contable (o bien ordenable) de L , entonces T ∩ S mi norte t ( L 0 ) es satisfacible. Además, si T es máximamente consistente entonces hay una estructura METRO 0 tal que T ∩ S mi norte t ( L 0 ) = T h ( METRO 0 ) .

Pero parece que eso no es relevante para lo que estás haciendo. Sospecho que su instructor cometió un error tipográfico o tuvo algún otro momento tonto.

Las teorías de máxima consistencia tienen subteorías contables completas en cada sublenguaje contable.
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