Secuencia de elementos de ultrapoder y su supremo

Dejar$\mathbb{A} = (A, \leq^\mathbb{A})$sea ​​un orden lineal sin elemento maximal y sea$\mathbb{B} = \mathbb{A}^\mathbb{N} / \mathcal{U}$sea ​​su ultrapoder con respecto a algún ultrafiltro. Debo probar que para cada secuencia infinita (contable)$(a_1, a_2, \ldots)$de los elementos de la ultrapotencia (lo que significa que$a_i \in B$, no$A$) hay otro elemento$b \in B$tal que$b \geq a_i$para todos$i$.

En general, entiendo los trucos de los ultraproductos, pero aquí estoy perdido. Mi primera idea fue crear un conjunto de oraciones "$\forall_{x_1, x_2, \ldots, x_k} \exists_y y \geq x_1 \wedge \ldots \wedge y \geq x_k$" con incremento$k$'s y usamos el teorema de Łoś, pero realmente no veo cómo podríamos 'saltar' con esto a secuencias infinitas (a menos que el teorema de compacidad entre en juego de una manera que no puedo ver). Mi segundo intento fue el argumento de contar: hay muchos elementos incontables en todo el ultrapoder, pero solo muchos elementos contables en la secuencia.$(a_1, a_2, \ldots)$. Pero en realidad eso no prueba nada.

¿Tiene alguna sugerencia sobre cómo abordar este problema?