Identidades de matrices de Pauli en formalismo de espinor de dos componentes

Estoy leyendo la reseña de HK Dreiner, HE Haber y SP Martin ( arXiv:0812.1594 ) sobre el formalismo de espinor de dos componentes. Hay algunas identidades y convenciones de notación que conducen a cierta confusión de mi parte después de haberlas.

Definiciones / Convenciones

Dado que este tema es muy propenso a errores al mezclar diferentes convenciones, intentaré recopilar las definiciones relevantes a continuación. En caso de duda, me gustaría ceñirme a las convenciones del documento mencionado anteriormente.

1. Los autores definen el símbolo antisimétrico como (Ec. (2.19))$\epsilon^{12} = -\epsilon^{21} = \epsilon_{21} = -\epsilon_{12} = 1$y$\epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}} = (\epsilon^{\alpha\beta})^*$,$\epsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}} = (\epsilon_{\alpha\beta})^*$, es decir, los valores numéricos para los índices con puntos y sin puntos son idénticos.

2. Con estos objetos, podemos subir y bajar los índices del espinor (Ec. (2.20))

   $$\psi_\alpha = \epsilon_{\alpha\beta} \psi^\beta \,, \quad \psi^\alpha = \epsilon^{\alpha\beta} \psi_\beta \,, \quad \psi^\dagger_{\dot{\alpha}} = \epsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}} \psi^{\dagger\dot{\beta}} \,, \quad \psi^{\dagger\dot{\alpha}} = \epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}} \psi^\dagger_{\dot{\beta}}$$ y similar para objetos de mayor rango (Ec. (2.21)): $$A^{\gamma\delta} = \epsilon^{\gamma\alpha} \epsilon^{\delta\beta} A_{\alpha\beta} \,, \qquad A_{\gamma\delta} = \epsilon_{\gamma\alpha} \epsilon_{\delta\beta} A^{\alpha\beta} \,.$$

3. Las matrices de Pauli se definen como (Ecs. (2.27), (2.28))

   $$(\sigma^\mu)_{\alpha\dot{\beta}} = (\mathbb{1}_{2\times2},\vec{\sigma}) \,, \qquad (\bar{\sigma}^\mu)^{\dot{\alpha}\beta} = (\mathbb{1}_{2\times2},-\vec{\sigma}) \,.$$ Con ellos podemos definir (Ecs. (2.71), (2.72)) $$(\sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = \frac{i}{4} \left(\sigma^\mu_{\alpha\dot{\gamma}} \bar{\sigma}^{\nu\dot{\gamma}\beta}-\sigma^\nu_{\alpha\dot{\gamma}} \bar{\sigma}^{\mu\dot{\gamma}\beta}\right) \,, \qquad (\bar{\sigma}^{\mu\nu})^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}} = \frac{i}{4} \left(\bar{\sigma}^{\mu\dot{\alpha}\gamma}\sigma^\nu_{\gamma\dot{\beta}}-\bar{\sigma}^{\nu\dot{\alpha}\gamma}\sigma^\mu_{\gamma\dot{\beta}}\right) \,.$$ para el cual se cumplen las siguientes identidades (ecuación (2.77)) $$(\sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = \epsilon_{\alpha\tau} \epsilon^{\beta\gamma} (\sigma^{\mu\nu})_\gamma{}^\tau, \qquad (\bar{\sigma}^{\mu\nu})^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}} = \epsilon^{\dot{\alpha}\dot{\tau}} \epsilon_{\dot{\beta}\dot{\gamma}} (\bar{\sigma}^{\mu\nu})^{\dot{\gamma}}{}_{\dot{\tau}} \,. \label{eq:id}\tag{1}$$ He verificado estas identidades insertando las representaciones explícitas de las matrices de Pauli y realizando todas las sumas.

4. Además, discuten la correspondencia entre la notación de sus componentes y los objetos con dos índices de espinor vistos como matrices. Alrededor de las ecuaciones. (2.33) y (2.34) escriben

   $$(V^T)_{\alpha\dot{\beta}} = V_{\beta\dot{\alpha}} \,, \quad (V^*)_{\dot{\alpha}\beta} = (V_{\alpha\dot{\beta}})^* \,, \quad (V^\dagger)_{\alpha\dot{\beta}} = (V_{\beta\dot{\alpha}})^* = (V^*)_{\dot{\beta}\alpha} \,, \label{eq:mat}\tag{2}$$ $$(W^T)_\alpha{}^\beta = W^\alpha{}_\beta \,, \quad (W^*)_{\dot{\alpha}}{}^{\dot{\beta}} = (W_\alpha{}^\beta)^* \,, \quad (W^\dagger)^{\dot{\beta}}{}_{\dot{\alpha}} = (W_\alpha{}^\beta)^* = (W^*)_{\dot{\alpha}}{}^{\dot{\beta}} \,. \label{eq:mat2}\tag{3}$$

Preguntas

1. Si utilizo las propiedades de aumento y disminución del índice del$\epsilon$símbolo en las identidades ($\ref{eq:id}$) Obtengo, por ejemplo, en el caso sin punto,

   $$(\sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = (\sigma^{\mu\nu})^\beta{}_\alpha \,,$$ que yo interpretaría, usando las convenciones ($\ref{eq:mat2}$), como $$(\sigma^{\mu\nu})_\alpha{}^\beta = \left((\sigma^{\mu\nu})^T\right)_\alpha{}^\beta \,,$$ es decir$\sigma^{\mu\nu} = (\sigma^{\mu\nu})^T$en notación matricial. Como uno puede verificar rápidamente usando representaciones explícitas para las matrices de Pauli, esto no se cumple (verifique, por ejemplo,$(\mu,\nu) = (0,2)$o$(1,3)$). Mi pregunta ahora es: ¿Dónde malinterpreto las convenciones o cometo un error?

2. Cuando trato de combinar la notación para la transposición y la conjugación compleja para el caso mixto sin punto/con punto en ($\ref{eq:mat}$), no obtengo la misma expresión para la conjugación hermitiana que se da allí:

   $$(V^\dagger)_{\alpha\dot{\beta}} = \left((V^*)^T\right)_{\alpha\dot{\beta}} = (V^*)_{\beta\dot{\alpha}} = (V_{\dot{\beta}\alpha})^* \,.$$ Esto parece ser exactamente lo contrario con respecto a los puntos en comparación con lo que ($\ref{eq:mat}$) reclamos. ¿Pasé por alto algo?