¿Qué significa intuitivamente la condición métrica ∇ρgμν=0∇ρgμν=0\nabla_\rho g_{\mu\nu}=0 en relatividad general para un observador que mide distancias?

La condición$\nabla_{a}g_{bc} = 0$es pura matemática. Toda métrica admite una torsión libre (por una definición, que satisfaga$\nabla_{[a}\nabla_{b]}f = 0$para cada función en la variedad) conexión que satisface esta condición.

Que la relatividad general se formule utilizando esta conexión es una afirmación de que la gravedad obedece al principio de equivalencia: un observador en caída libre se traslada paralelamente a lo largo de las geodésicas de$\nabla$relativo a$g$. Y el hecho de que esta sea una traducción paralela está codificado en esa condición en la métrica.

Dice que la métrica se comporta como una constante con respecto a la diferenciación covariante, lo que significa que los vectores tienen una magnitud constante bajo desplazamiento paralelo. En otras palabras, si desplazas una regla métrica, sigue siendo una regla métrica, y si desplazas un reloj que mide un segundo por segundo (sin alterar el mecanismo), seguirá midiendo un segundo por segundo.

En primer lugar, tenga en cuenta que la derivada covariante de un vector es un tensor. Esto significa que si tenemos dos vectores$A_\mu$y$A^\nu$, entonces sus derivadas covariantes$\nabla_\rho A_\mu$y$\nabla_\rho A^\nu$son tensores. Estos dos tensores satisfacen la ley de transformación:

Significado intuitivo:

El tensor métrico se conserva así durante la diferenciación covariante. Sin embargo, esto no significa que las derivadas parciales sean todas cero. Se pueden expresar las derivadas parciales de$g_{\mu\nu}$en términos de las conexiones de Christoffel y puede hacer que sea cero solo en un punto local en el espacio-tiempo. Usando este proceso, se puede mostrar que las conexiones de Christoffel son funciones de las primeras derivadas del tensor métrico.

Se puede obtener la expresión del tensor de curvatura de Riemann, que es una función de las primeras derivadas de las conexiones de Christoffel (es decir, una función de las segundas derivadas del tensor métrico) para encontrar que el tensor de Riemann no se puede reducir a cero en un punto local . Esto significa que todas las segundas derivadas del tensor métrico no pueden reducirse a cero en ningún punto local del espacio-tiempo. El número de segundas derivadas supervivientes es$\frac{1}{12}D^2(D^2-1)$, que por$D=4$dimensiones es 20. Este es el número de componentes independientes del tensor de Riemann.

La condición$\nabla_\rho g_{\mu\nu}=0$intuitivamente significa que todas las primeras derivadas del tensor métrico pueden ser cero en un punto local del espacio-tiempo, pero todas las segundas derivadas no pueden ser idénticamente cero en ese punto. Y el número de segundas derivadas supervivientes del tensor métrico determina la curvatura del espacio-tiempo. Esto también define la noción misma de marcos localmente inerciales.

Creo que la mejor manera de entender esto es por el principio de equivalencia usando una regla y un reloj. El principio de equivalencia dice que dentro de ciertos límites de distancia y tiempo, no hay forma de determinar si estás cayendo libremente hacia un cuerpo masivo o flotando en el espacio profundo lejos de todos los cuerpos celestes masivos.

Si la métrica no fuera una constante covariante, entonces tu regla y/o tu reloj cambiarían sus medidas. Entonces, por ejemplo, puede pasar una regla de fabricación idéntica que se encuentra perpendicular a la dirección del viaje, y su regla tendría una longitud diferente cuando la coloca paralela a la otra mientras pasa.

Si viajaste por algún camino cerrado, es posible que tu reloj y tu regla no midan lo mismo que cuando te fuiste.

Uno de los argumentos que encontré fue que el producto escalar debería ser invariante. Pero eso solo plantea la pregunta, ¿por qué?

Creo que tengo una respuesta bastante intuitiva que se basa en la geometría y la física.

Si la derivada covariante que actúa sobre el tensor métrico desaparece, significa que durante el transporte paralelo de dos vectores cualesquiera$u$,$v$(es decir, vectores que viven en el espacio tangente en un punto de la variedad) a lo largo de cualquier curva, el producto interno entre ellos es covariantemente constante (lo que en general no significa numéricamente constante), es decir

Ahora, dado que la generalización de las líneas rectas son curvas geodésicas (que se perciben localmente como líneas rectas para un observador que viaja), esta condición significa que el transporte paralelo del vector tangente a una curva$\gamma$significa que se conserva su longitud. Ahora, un vector tangente a una curva en el espacio real, significa que el vector es el vector de velocidad. Entonces, lo anterior es la "generalización curva" de la afirmación de que cuando la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo es cero, entonces su velocidad es constante (localmente, de hecho es constante, no solo en longitud, cuando lo ve un observador local ya que él / ella ve su camino a lo largo de una geodésica como siguiendo una línea recta (aunque, de nuevo, no es numéricamente constante).

Nota: Hay un poco más en la historia ya que la Relatividad General necesita una métrica constante covariante y una conexión libre de torsión. La torsión tiende a "torcer" los vectores, pero creo que la idea principal en mi respuesta es correcta.