¿Por qué la derivada covariante del tensor métrico es cero?

Question

¿Por qué la derivada covariante del tensor métrico es cero?

Afnix

He consultado varios libros para la explicación de por qué

\nabla_{m} {gramo}_{α β} = 0,

$\nabla _{\mu}g_{\alpha \beta} = 0,$

y de ahí derivar la relación entre el tensor métrico y la conexión afín $\Gamma ^{\sigma}_{\mu \beta}$

Γ_{β m}^{γ} = \frac{1}{2} {gramo}^{α γ} (\partial_{m} {gramo}_{α β} + \partial_{β} {gramo}_{α m} - \partial_{α} {gramo}_{β m}) .

$\Gamma ^{\gamma} _{\beta \mu} = \frac{1}{2} g^{\alpha \gamma}(\partial _{\mu}g_{\alpha \beta} + \partial _{\beta} g_{\alpha \mu} - \partial _{\alpha}g_{\beta \mu}).$

Pero no estoy llegando a ninguna parte. Puede ser que tenga que profundizar mucho más en los conceptos de variedad.

Espaguetificación cuántica

Como nota al margen; para mostrar que

g_{α β; σ} = 0

$g_{\alpha\beta;\sigma}=0$ todo lo que tenemos que hacer es mostrar que es cero en un sistema de referencia localmente inercial (que trivialmente lo es) y, por lo tanto, debe serlo en todos los sistemas de referencia.

acechador

intuitivamente hablando, la interpretación es trivial: el tensor métrico es la regla utilizada para medir cómo cambian los campos de un lugar a otro. Tiene sentido que la regla no cambie según lo medido por la regla.

Respuestas (5)

¿Por qué la derivada covariante del tensor métrico es cero?

Como nota al margen; para mostrar que $g_{\alpha\beta;\sigma}=0$ todo lo que tenemos que hacer es mostrar que es cero en un sistema de referencia localmente inercial (que trivialmente lo es) y, por lo tanto, debe serlo en todos los sistemas de referencia.
intuitivamente hablando, la interpretación es trivial: el tensor métrico es la regla utilizada para medir cómo cambian los campos de un lugar a otro. Tiene sentido que la regla no cambie según lo medido por la regla.

twistor59 · Answer 1

twistor59

La conexión se elige de modo que la derivada covariante de la métrica sea cero. La derivada métrica covariante que desaparece no es una consecuencia de usar "cualquier" conexión, es una condición que nos permite elegir una conexión específica $\Gamma^{\sigma}_{\mu \beta}$ . En principio, podría tener conexiones para las cuales $\nabla_{\mu}g_{\alpha \beta}$ no desapareció . Pero queremos específicamente una conexión para la cual esta condición sea cierta porque queremos una operación de transporte paralelo que conserve ángulos y longitudes.

Vibert

Buena respuesta. En la sección 3.1 de Wald se dan algunos detalles. Queremos el producto interior

(v, w) = g_{a b} v^{a} w^{b}

$(v,w) = g_{ab} v^a w^b$ permanecer constante bajo transporte paralelo a lo largo de una curva con tangente

t^{c}

$t^c$ , lo que da lugar a la condición

t^{c} \nabla_{c} (g_{a b} v^{a} w^{b}) = 0.

$t^c \nabla_c (g_{ab} v^a w^b) = 0.$ Pero (usando transporte paralelo), esto es lo mismo que

t^{c} v^{a} w^{b} \nabla_{c} g_{a b} = 0

$t^c v^a w^b \nabla_c g_{ab} = 0$ y esto debería ser cierto para todos

v, w, t .

$v,w,t.$

Afnix

Gracias por la maravillosa respuesta. Intentaré revisar el libro de Wald.

Cristóbal

También tenga en cuenta que la condición

\nabla g = 0

$\nabla g = 0$ no es suficiente para especificar una conexión única; se necesita otra condición (p. ej., torsión que se desvanece) para eso

twistor59

@Christoph sí, eso es importante, debería haberlo mencionado.

Murod Abdukhakimov

Véase también "Estructura espacio-tiempo" de Schrödinger. La respuesta de @ twistor59 es correcta, pero para obtener más detalles, debe obtener más información sobre los conceptos (generalmente independientes) de conexión y métrica.

usuario8817 · Answer 2

Se puede mostrar fácilmente por el siguiente razonamiento.

D A_{i} = {gramo}_{i k} D A^{k},

$DA_{i} = g_{ik}DA^{k},$ porque

D A_{i}

$DA_{i}$ es un vector (según la definición de derivada covariante). Por otra parte,

D A_{i} = D ({gramo}_{i k} A^{k}) = {gramo}_{i k} D A^{k} + A^{k} D {gramo}_{i k} .

$DA_{i} = D(g_{ik}A^{k}) = g_{ik}DA^{k} + A^{k}Dg_{ik}.$ Asi que,

{gramo}_{i k} D A^{k} + A^{k} D {gramo}_{i k} = {gramo}_{i k} D A^{k} \Rightarrow D {gramo}_{i k} = 0.

$g_{ik}DA^{k} + A^{k}Dg_{ik} = g_{ik}DA^{k} \Rightarrow Dg_{ik} = 0.$ Entonces, no es una condición, es una consecuencia de la derivada de covarianza y la definición del tensor métrico.

La relación entre los símbolos de Christoffel y las derivaciones del tensor métrico se puede obtener mediante la permutación cíclica de índices en la derivada de covarianza. $g_{ik; l}$ expresión, que es igual a cero.

cavador · Answer 3

Aquí hay otro cálculo sencillo, pero asumiendo la existencia de coordenadas localmente planas $\xi^i\left(x^\mu\right)$ . Después

\begin{aligned} D_{ρ} {gramo}_{m v} & = \partial_{ρ} {gramo}_{m v} - {gramo}_{m σ} Γ_{v ρ}^{σ} - {gramo}_{σ v} Γ_{m ρ}^{σ} \\ = \partial_{ρ} (\frac{\partial ξ^{i}}{\partial X^{m}} \frac{\partial ξ^{i}}{\partial X^{v}}) - {gramo}_{m σ} \frac{\partial X^{σ}}{\partial ξ^{i}} \frac{\partial^{2} ξ^{i}}{\partial X^{v} \partial X^{ρ}} - {gramo}_{σ v} \frac{\partial X^{σ}}{\partial ξ^{i}} \frac{\partial^{2} ξ^{i}}{\partial X^{m} \partial X^{ρ}} \\ = \frac{\partial^{2} ξ^{i}}{\partial X^{ρ} \partial X^{m}} \frac{\partial ξ^{i}}{\partial X^{v}} + \frac{\partial ξ^{i}}{\partial X^{m}} \frac{\partial^{2} ξ^{i}}{\partial X^{ρ} \partial X^{v}} - \frac{\partial ξ^{j}}{\partial X^{m}} \underset{d_{i}^{j}}{\underset{⏟}{\frac{\partial ξ^{j}}{\partial X^{σ}} \frac{\partial X^{σ}}{\partial ξ^{i}}}} \frac{\partial^{2} ξ^{i}}{\partial X^{v} \partial X^{ρ}} - \frac{\partial ξ^{j}}{\partial X^{σ}} \frac{\partial ξ^{j}}{\partial X^{v}} \frac{\partial X^{σ}}{\partial ξ^{i}} \frac{\partial^{2} ξ^{i}}{\partial X^{m} \partial X^{ρ}} \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} D_\rho g_{\mu \nu} &= \partial_\rho g_{\mu \nu} - g_{\mu \sigma} \Gamma_{\nu\rho}^{\sigma} - g_{\sigma\nu} \Gamma_{\mu\rho}^{\sigma} \\ &= \partial_\rho \left( \frac{\partial \xi^i}{\partial x^\mu}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^\nu} \right) - g_{\mu \sigma} \frac{\partial x^\sigma}{\partial \xi^i} \frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\nu \partial x^\rho} - g_{\sigma \nu} \frac{\partial x^\sigma}{\partial \xi^i} \frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\mu \partial x^\rho} \\ &= \frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\rho \partial x^\mu}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^\nu} + \frac{\partial \xi^i}{\partial x^\mu}\frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\rho \partial x^\nu} - \frac{\partial \xi^j}{\partial x^\mu}\underbrace{\frac{\partial \xi^j}{\partial x^\sigma} \frac{\partial x^\sigma}{\partial \xi^i}}_{\delta^j_i} \frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\nu \partial x^\rho} - \frac{\partial \xi^j}{\partial x^\sigma}\frac{\partial \xi^j}{\partial x^\nu}\frac{\partial x^\sigma}{\partial \xi^i} \frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\mu \partial x^\rho} \\ &= 0 \end{align}$

Esa es una buena pregunta que también me gustaría haber respondido. Pero en realidad es la esencia del GR clásico.
En realidad, el cálculo anterior también es válido si considera un espacio plano de mayor dimensión $i,j=1,...,N$ donde se incrusta la variedad $\mu,\nu,\rho,\sigma=1,...,M$ con $M<N$ . Entonces los símbolos de Christoffel todavía pueden definirse siempre que $\frac{\partial^{2} ξ^{i}}{\partial X^{m} \partial X^{v}} = Γ_{m v}^{ρ} \frac{\partial ξ^{i}}{\partial X^{ρ}}$ $\frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\mu \partial x^\nu} = \Gamma_{\mu\nu}^\rho \frac{\partial \xi^i}{\partial x^\rho}$ La inversa utilizada anteriormente no es realmente necesaria.
¿Por qué supone que existe un sistema de coordenadas localmente plano en el universo real?
¿Por que me preguntas? Pregúntale a Einstein; esa era su suposición general.
y su trabajo como científico es nunca cuestionar sus suposiciones básicas? Me perdí esa conferencia.
Eso es correcto: ¡Nunca cuestiones los dogmas de los gigantes xP! Sin embargo, desde un punto de vista matemático puro, ¿no es también cierto que cada punto $p$ en un múltiple $M$ tiene un espacio tangencial plano $T_pM$ ? Supongo que el problema es que la dimensión del espacio tangencial es generalmente mayor que la dimensión de $M$ .
No tiene ninguna evidencia de que el espacio-tiempo sea localmente lorentziano. Esa es una suposición similar a aquella en la que las personas asumen que el mundo no se movía porque no tenían un instrumento lo suficientemente sensible para medir el movimiento, e igual de peligroso. Su modelo matemático no tiene análogo en el universo real.
La dimensión del espacio tangente es exactamente igual a la dimensión de la variedad. Esto es a propósito para que sea un lugar adecuado para hacer aproximaciones lineales a la variedad. Pero la existencia de coordenadas geodésicas es una consecuencia matemática de una métrica riemanniana. Y no tienen significado físico, simplemente simplifican los cálculos. Entonces, ellos, su uso o sus fórmulas no son la consecuencia de ninguna suposición física adicional, excepto que existe una métrica.

José F. johnson · Answer 4

Esto solo pretende complementar la primera respuesta.

Si pensamos físicamente, entonces vivimos en un mundo (pseudo-) riemanniano particular. En este mundo, solo hay un tensor métrico (hasta escalar) y prácticamente se puede medir. Si lo encontrara aquí, y si un extraterrestre lo midiera, y comparáramos nuestras respuestas, serían múltiplos escalares entre sí (elección del metro parisino para mí, elección del pie imperial para el extraterrestre, o viceversa... ). Hay precisamente una conexión, y se puede calcular a partir de la métrica.

Así que discrepo con la palabra utilizada por @twistor59, «elegido». No hay elección. Dada una métrica, se determina la conexión. Estoy de acuerdo con el resto de la respuesta, pero me gustaría ver la palabra "elegido" reemplazada por "dado". Prefiero decir,

dada una métrica, la conexión está determinada por la métrica.

Dada una métrica, la conexión Levi-Civita está determinada por la métrica. A menudo nos resulta conveniente elegir la conexión Levi-Civita sobre otras opciones posibles.

usuario4552 · Answer 5

Considere la analogía con la gravedad newtoniana. En la gravedad newtoniana, tenemos un potencial $\Phi$ , y diferenciando eso da el campo gravitatorio.

En GR, la métrica juega el papel del potencial, y al diferenciarla obtenemos los coeficientes de Christoffel, que pueden interpretarse como medidas del campo gravitatorio.

Ahora en GR tenemos el principio de equivalencia (ep), y una forma de establecer el ep es que siempre podemos elegir un marco de referencia local tal que el campo gravitatorio sea cero. Por lo tanto existen coordenadas tales que $\nabla_\alpha g_{\mu\nu}=0$ . Pero $g$ es un tensor, y el punto completo de la derivada covariante $\nabla$ es que es un tensor (a diferencia de las derivadas parciales con respecto a las coordenadas). Y un tensor que es cero en un conjunto de coordenadas es cero en todas las demás coordenadas. Por lo tanto debemos tener $\nabla_\alpha g_{\mu\nu}=0$ en cualquier conjunto de coordenadas que elijamos.

¿Por qué asumes esto? ¿Qué evidencia tienes de que hay algún lugar en el universo donde la aceleración es cero?

¿Por qué la derivada covariante del tensor métrico es cero?

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¿Cuándo podemos aumentar índices más bajos en "no tensores" como se describe en el libro de Dirac Teoría general de la relatividad?

Determinante métrico y su derivada parcial y covariante

¿Por qué necesitamos una métrica para definir el gradiente?

¿Por qué el gradiente absoluto del tensor métrico es ∇αgμν=0∇αgμν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 en cada sistema de coordenadas? [duplicar]

¿Cómo puedo hacer que dos ecuaciones separadas para los símbolos de Christoffel den la misma respuesta?

Problema al subir/bajar índices en derivada covariante [cerrado]

Pregunta de Schutz

¿Es un campo tensor métrico lo mismo que ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds² = -dt² + dx²+ dy² + dz²?

¿Por qué es natural imponer la condición de que la métrica permanezca sin cambios en el transporte paralelo?

¿Inconsistencia con derivadas parciales como vectores base?