¿Algún consejo para evaluar el tensor de Riemann?

Question

¿Algún consejo para evaluar el tensor de Riemann?

Edison César

Estoy calculando el tensor de Riemann para la solución de Schwarzschild. Ya calculé los 9 símbolos de Christoffel que no desaparecen. Ahora necesito evaluar el tensor de Riemann y no encuentro una manera fácil de hacerlo. Tengo

R^{α}_{β γ d} = \partial_{γ} Γ_{β d}^{α} - \partial_{d} Γ_{β γ}^{α} + Γ_{β d}^{m} Γ_{m γ}^{α} - Γ_{β γ}^{m} Γ_{m d}^{α}

$R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta} = \partial_\gamma\Gamma^\alpha_{\beta\delta} - \partial_\delta\Gamma^\alpha_{\beta\gamma} + \Gamma^\mu_{\beta\delta} \Gamma^\alpha_{\mu\gamma} - \Gamma^\mu_{\beta\gamma} \Gamma^\alpha_{\mu\delta}$ y solo tengo las siguientes conexiones distintas de cero:

Γ_{t t}^{r}, Γ_{θ θ}^{r}, Γ_{ϕ ϕ}^{r}, Γ_{r r}^{r}, Γ_{r θ}^{θ}, Γ_{r ϕ}^{ϕ}, Γ_{ϕ ϕ}^{θ}, Γ_{θ ϕ}^{ϕ}, Γ_{t r}^{t}

$\Gamma^r_{tt}, \Gamma^r_{\theta\theta},\Gamma^r_{\phi\phi},\Gamma^r_{rr}, \Gamma^\theta_{r\theta},\Gamma^\phi_{r\phi}, \Gamma^\theta_{\phi\phi}, \Gamma^\phi_{\theta\phi}, \Gamma^t_{tr}$

Estoy pensando en poner la primera derivada parcial $\partial_\gamma\Gamma^\alpha_{\beta\delta}$ solo uno de esos símbolos que ya tengo, sin embargo, me temo que no me hará pasar por todos los posibles componentes del tensor de Riemann que no se desvanecen que necesito.

¿Recibiré todos los componentes? ¿Hay otras maneras fáciles de hacerlo?

PD1: Si, conozco las simetrías y que solo hay 20 componentes independientes

PD2: También sé que tengo la respuesta en el libro, pero quiero hacerlo yo mismo para practicar

PS3: No quiero un método específico para la solución de Schwarzschild solamente, sino una "salida más general y fácil".

Respuestas (5)

¿Algún consejo para evaluar el tensor de Riemann?

jamals · Answer 1

Existe un enfoque relativamente rápido para calcular el tensor de Riemann, el tensor de Ricci y el escalar de Ricci dado un tensor métrico conocido como método de Cartan o método de marcos móviles . Dado un elemento de línea,

d s^{2} = {gramo}_{m v} d X^{m} d X^{v}

$ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$

eliges una base ortonormal $e^a = e^a_\mu dx^\mu$ tal que $ds^2 = \eta_{ab}e^a e^b$ . La primera ecuación de estructura de Cartan,

d {mi}^{a} + ω_{b}^{a} \land {mi}^{b} = 0

$de^a + \omega^a_b \wedge e^b = 0$

permite resolver los componentes de conexión de espín $\omega^a_b$ a partir del cual se puede calcular el tensor de Ricci en la base ortonormal:

R_{b}^{a} = d ω_{b}^{a} + ω_{C}^{a} \land ω_{b}^{C} .

$R^a_b = d\omega^a_b + \omega^a_c \wedge \omega^c_b.$

Todo el proceso simplemente requiere una diferenciación exterior de la base y la conexión de espín. Los componentes de Riemann se pueden deducir de la relación,

R_{b}^{a} = R_{b C d}^{a} {mi}^{C} \land {mi}^{d}

$R^a_b = R^a_{bcd} \, e^c \wedge e^d$

posiblemente con un factor de $\frac12$ dependiendo de sus convenciones. Para volver a convertir a la base de coordenadas, uno simplemente debe contraer con la base:

R_{v λ k}^{m} = ({mi}^{- 1})_{a}^{m} R_{b C d}^{a} {mi}_{v}^{b} {mi}_{λ}^{C} {mi}_{k}^{d} .

$R^\mu_{\nu \lambda \kappa} = (e^{-1})^\mu_a \, R^a_{bcd}\, e^b_\nu \, e^c_\lambda \, e^d_\kappa.$

Para un cálculo explícito, vea mis respuestas anteriores aquí , aquí y aquí . Las conferencias de física gravitacional en pirsa.org también proporcionan ejemplos explícitos. En cuanto al uso de sistemas de álgebra computacional, si todo lo que busca es calcular tensores de curvatura, el libro de texto de Hartle para Mathematica es su mejor opción o el GRAN paquete . Si desea hacer cosas más avanzadas como la teoría de la perturbación, entonces se requiere xAct.

La solución de Schwarzschild se elaboró explícitamente en un conjunto de notas de conferencias no oficiales basadas en un curso de Malcolm Perry. Estoy seguro de que todavía está disponible en línea, aunque parece que no puedo encontrarlo en este momento.
@ noir1993 Es un ejercicio estándar realizado en las conferencias que vinculé con más generalidad. Y gracias, creo que la respuesta aceptada no es realmente una respuesta ...

Bence Racskó · Answer 2

Esta es una vieja pregunta, pero creo que todavía merece una respuesta. Si no desea utilizar marcos ortonormales, aún existen métodos que permiten organizar los datos en formas fáciles de manejar que simplifican estos cálculos.

Primera nota que $R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$ , que se puede organizar en varias ecuaciones matriciales, si definimos $\Gamma_\mu$ ser la matriz cuya $(\rho,\sigma)$ -th elemento es $\Gamma^\rho_{\mu\sigma}$ . Luego salen 6 "matrices de Riemann" independientes, $\mathbf{R}_{\mu\nu}$ ( $\mu,\nu$ sesgado-simétrico) para el cual

R_{m v} = \partial_{m} Γ_{v} - \partial_{v} Γ_{m} + [Γ_{m}, Γ_{v}] .

$\mathbf{R}_{\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma_\nu-\partial_\nu\Gamma_\mu+[\Gamma_\mu,\Gamma_\nu].$ Potencialmente, esto implica más cálculos que simplemente aislar los 20 componentes independientes y someterlos a fuerza bruta, pero el uso de matrices permite una visión general y una organización muy claras de estos componentes.

Una variación en este tema es usar el mismo método que se usa en el enfoque de marco ortonormal, la segunda ecuación de estructura sigue siendo válida. Podemos calcular el tensor de Riemann como una matriz de 2 formas, si definimos $\Gamma^\mu_\nu=\Gamma^\mu_{\sigma\nu}dx^\sigma$ , entonces

R_{v}^{m} = \frac{1}{2} R_{v ρ σ}^{m} d X^{ρ} \land d X^{σ} = d Γ_{v}^{m} + Γ_{λ}^{m} \land Γ_{v}^{λ} .

$R^\mu_{\ \nu}=\frac{1}{2}R^\mu_{\ \nu\rho\sigma}dx^\rho\wedge dx^\sigma=d\Gamma^\mu_\nu+\Gamma^\mu_\lambda\wedge\Gamma^\lambda_\nu.$

No podemos explotar directamente las simetrías del tensor de Riemann aquí, a menos que $\mu$ se baja, pero para una métrica diagonal, la $\mu$ El índice se puede reducir muy fácilmente, entonces solo hay 6 2 formas para calcular a partir de esto.

Gracias por esta respuesta, esto hizo que el cálculo fuera manejable para mí.

geoff ryan · Answer 3

La respuesta corta es que calcular el tensor de Riemann es una rutina. Tomará un tiempo, no importa de qué manera lo hagas.

Presumiblemente, estás haciendo la métrica de Schwarzschild en las coordenadas estándar (Schwarzschild), por lo que te ayuda el hecho de que el tensor métrico es diagonal. Esto significa que $R^\alpha_{\beta \gamma \delta} = g^{\alpha \alpha}R_{\alpha \beta \gamma \delta}$ , sin suma en $\alpha$ . Esto es conveniente, ya que el rango $(0,4)$ forma del tensor de Riemann es donde se encuentran todas las simetrías, pero el $(1,3)$ forma es para lo que tenemos una fórmula conveniente. Todo lo que queda es usar las simetrías que conoce, elegir sus 20 componentes y calcularlos a mano. De antemano, calcule las entradas distintas de cero de $\partial_\alpha \Gamma^\beta_{\gamma \delta}$ y $\Gamma^\alpha_{\beta \epsilon} \Gamma^\epsilon_{\gamma \delta}$ .

¡Buena suerte!

Aunque animo por completo los ejercicios algebraicos como este, también hay algo que decir para obtener la respuesta rápidamente. Si tiene acceso, vale la pena escribir su propio script de Maple o Mathematica para hacer esto por usted para una métrica arbitraria. También puede usar SymPy, es gratis pero es un poco menos poderoso la última vez que lo verifiqué.

Bueno, realmente gracias. Esa era la respuesta que temía, pero que realmente ayudó de todos modos. ¿Hay algún paquete para usar en Mathematica para ello? Estoy comenzando a programar en él para encontrar los símbolos de Christoffel en este momento, sin embargo, estoy comenzando desde cero y tomará mucho tiempo (soy un programador principiante).
Nunca he usado un paquete en particular, este fue mi primer resultado de Google: Ricci . Afortunadamente, Mathematica está construido para cosas como esta, ¡y hacerlo usted mismo es un buen ejercicio! Usa Table[], Sum[]y Inverse[]con muchos Simplify[]intermedios y estarás bien :)
El paquete "diffgeo" hace todos estos cálculos y más. Puede descargarlo desde people.brandeis.edu/~headrick/Mathematica
Creo que el sitio web GR de James Hartle (asociado con su popular libro de texto) también tiene un paquete de Mathematica para calcular cantidades similares en GR. web.physics.ucsb.edu/~libro de gravedad
@EdisonCesar: De hecho, recomendaría implementar su propio motor en Mathematica: le enseñará cómo funciona el motor de multiplicación de vectores y también le enseñará cómo hacer el cálculo a mano.
Hay una manera fácil de hacerlo, se llama método de Cartan o método de marcos móviles, si conoce formas diferenciales. Esencialmente, usted elige una base ortonormal basada en su métrica y trabaja a través de las dos ecuaciones de estructura de Cartan.
como obtuviste la identidad $R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta} = g^{\alpha\alpha}R_{\alpha\beta\gamma\delta}$ ? ¿No debería ser más bien $R^\alpha{}_{\beta\gamma\delta} = g^{\alpha\epsilon}R_{\epsilon\beta\gamma\delta}$ ya que la métrica se utiliza para elevar el primer índice, o es $g^{\alpha\epsilon}R_{\epsilon\beta\gamma\delta} = g^{\alpha\alpha}R_{\alpha\beta\gamma\delta}$ ¿por alguna razón?
@HelloGoodbye, estos son iguales porque la métrica es diagonal: el único distinto de cero $g^{\alpha\epsilon}$ es el que tiene $\epsilon = \alpha$

ungerade · Answer 4

Tal vez sea útil enumerar algunos paquetes que lo ayuden a evaluar el tensor de Riemann:

RGTC Fácil (Mathematica)

GRTensorII Easy (Maple y versión limitada para Mathematica)

xAct duro (Mathamatica)

Si desea un cálculo rápido, recomendaría usar RGTC para Mathamtica y GRTensorII para Maple.

Si desea algunas características especiales (manipulación de grandes grupos de permutaciones, cálculos de tensores abstractos, el buque insignia del sistema, teoría de perturbaciones de alto orden en GR,...) use la suite xAct.

magma · Answer 5

Creo que calcular el tensor de Riemann manualmente no es particularmente esclarecedor, pero si realmente quieres hacerlo, ¿por qué pedirnos ayuda a nosotros y no a un libro? De todos modos, es muy probable que cualquier consejo que podamos darte provenga de un libro.

Habiendo dicho eso, el paquete de manipulación de tensores más poderoso para Mathematica es xAct. Requiere un conocimiento sólido en geometría diferencial que puede o no tener aún. Soy el desarrollador de xPrint, una GUI para xAct que acelera la entrada del tensor y puede ser útil para los principiantes. Le aconsejaría que primero dedique algún tiempo a aprender geometría diferencial y los comandos básicos de Mathematica.

Se pueden encontrar enlaces relevantes en mi respuesta a una pregunta similar en Mathematica.SE

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