¿Por qué es natural imponer la condición de que la métrica permanezca sin cambios en el transporte paralelo?

Primero ampliaré el punto hecho por Avantgarde en un comentario. Digamos que estás en el espacio exterior, en condiciones de caída libre, y tienes dos giroscopios. Orienta los giroscopios para que sus ejes sean perpendiculares. Las direcciones de sus ejes se pueden describir mediante tres vectores, pero estos tres vectores también se pueden promover a cuatro vectores de forma natural, requiriendo que sean vectores de simultaneidad en su marco, es decir, representan desplazamientos puramente espaciales. A usted. Sean estos dos vectores$v^a$y$w^b$. Entonces la ortogonalidad de sus ejes se puede expresar como$v^aw_a=0$, que es equivalente a$g_{ab}v^aw^b=0$.

Ahora, a medida que pasa el tiempo y caes libremente junto con los giroscopios, esperamos que los ejes de estos dos giroscopios permanezcan ortogonales. Esto es realmente solo el principio de equivalencia en el trabajo. Las propiedades del espacio-tiempo son siempre localmente equivalentes a las propiedades del espacio de Minkowski. Matemáticamente, esto significa que esperamos$v^aw_a$permanecer en cero. Esto se puede generalizar a casos en los que los vectores no son necesariamente espaciales o en los que el producto interno es distinto de cero.

A un nivel más filosófico/conceptual, si este tipo de producto interno cambiara bajo el transporte paralelo, probablemente atribuiríamos el cambio observado a un cambio en la métrica. Pero realmente no tiene sentido hablar de medir un cambio en la métrica, porque la métrica es nuestra única herramienta para realizar mediciones en primer lugar. Entonces, por ejemplo, si la métrica cambiara por un factor de 2, ¿cómo lo sabríamos? Eso sería como decir que todos los objetos, incluidas las reglas y los relojes, cambiaron por un factor de 2, pero eso sería inobservable porque nada cambiaría en relación con cualquier otra cosa.

Una línea universal de una partícula de prueba es un objeto físico que, de acuerdo con el principio de equivalencia, se puede describir en un marco de Lorentz local como una línea recta y en cualquier marco de coordenadas como una geodésica.

Marco local de Lorentz
$g_{\alpha \beta} = \eta_{\alpha \beta}$métrica de espacio-tiempo plana
$\partial g_{\alpha \beta} / \partial x^\gamma = 0$
Nota: Un marco de Lorentz local es lo más parecido a un marco de Lorentz global.
$d^2x^\alpha / d\tau^2 = 0$línea recta
$\tau$momento apropiado

Cualquier marco de coordenadas
$d^2x^\alpha / d\tau^2 + \Gamma^\alpha_{\beta \gamma} (dx^\beta / d\tau) (dx^\gamma / d\tau) = 0$geodésico
$\tau$parámetro afín

La consistencia de las dos representaciones exige$\Gamma^\alpha_{\beta \gamma} = 0$en cualquier marco de Lorentz local, es decir, requiere que cualquier marco de Lorentz local sea un marco de inercia local.

Eso significa que en un marco de Lorentz local la derivada covariante$\nabla_\gamma$muestra:
$\nabla_\gamma g_{\alpha \beta} = \partial g_{\alpha \beta} / \partial x^\gamma - \Gamma^\mu_{\alpha \gamma} g_{\mu \beta} - \Gamma^\mu_{\beta \gamma} g_{\alpha \mu} = 0$
La derivada covariante de la métrica desaparece porque la derivada parcial y la$\Gamma's$desaparecer por separado. Sin embargo, la ecuación es tensorial, por lo que es válida en cualquier sistema de coordenadas arbitrario.

Esa es la base física por la que la métrica permanece sin cambios en el transporte paralelo.