¿Cómo calculamos un volumen en un espacio curvo?

El volumen de una esfera en el espacio plano es:

V = 4 3 π r 3 .

En el espacio curvo, r en sí mismo depende de la posición, por lo que, en coordenadas esféricas,

r = r ( r , ϕ , θ ) .

Suponiendo un espacio-tiempo simétrico esférico, por ejemplo, la métrica de Schwarzschild:

d s 2 = − B C 2 d t 2 + A d r 2 + r 2 d Ω .

r no depende de ϕ y θ , por lo tanto, podemos escribir

r = r ( r ) .

Parece simple, pero me confunde totalmente, ya que no veo cómo calcular r de r sí mismo.

Bien, para calcular el volumen de una esfera alrededor de un punto se necesita calcular la integral de V , y como r depende de la posición, sugeriría escribir

Algo como V = ∫ F ( A , r ) d r

Pero no sé cómo se ve esto en detalle... ¿Me podrían ayudar por favor?

El rango de integración en términos de r , θ , ϕ no cambia; tampoco hay especial" r en términos de r "comportamiento (sigue siendo la función de identidad). La parte que cambia es el elemento de volumen: en lugar de ser d 3 X = r 2 d r pecado ⁡ θ d ϕ , también necesitas un | det gramo i j | = | A | factor.
¡Se ve bien! ¡Muchas gracias! ¿Por qué no pones eso en una respuesta?
Lo haré en unos minutos. Creo que haré la métrica de Schwarzschild como un ejemplo práctico.

Respuestas (1)

El volumen de un radio- R la esfera es ∫ S 2 d Ω ∫ 0 R r 2 | A | d r . Esto se simplifica en el caso de simetría esférica de | A | , a 4 π ∫ 0 R r 2 | A | d r . Por ejemplo, si la esfera está centrada en la masa en una métrica de Schwarzschild, A = r r − r s . Para el caso empíricamente interesante R > r s , la integral resultante es bastante diabólica, pero si R ≫ r s (entonces la región r ∈ [ 0 , r s ] es solo una contribución relativamente pequeña) se obtiene fácilmente una corrección de primer orden:

r 2 ( | A | − 1 ) = r 2 ( ( 1 − r s / r ) − 1 / 2 − 1 ) ≈ 1 2 r s r ,
que bajo el operador de integración 4 π ∫ 0 R d r agrega exceso de volumen de primer orden
2 π r s ∫ 0 R r d r = π r s R 2 .
En particular, el exceso de volumen relativo de primer orden es 3 r s 4 R . (El en- r El volumen infinitesimal en exceso relativo de primer orden, que en realidad es un área de superficie en exceso relativo, es r s 2 r , como se discutió, por ejemplo, aquí ).

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